Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002 Bølgefysikk Høst 2006

Løsningsforslag til øving 10

Veiledning 2. november

Oppgave 1 Fermats prinsipp og refleksjon: Veistrekningen fra A via O til B er

s = \sqrt{x^{2} + h^{2}} + \sqrt{(L − x)^{2} + h^{2}}

Hele veien ligger i medium 1, slik at lyshastigheten ikke endrer seg. Dermed blir det ett fett om vi minimerer tidsbruken eller veilengden. Vi finner minste veistrekning ved å derivere s mhp x og sette uttrykket lik null:

\frac{ds}{dx} = \frac{2x}{\sqrt{x^{2} + h^{2}}} − \frac{2(L − x)}{\sqrt{(L − x)^{2} + h^{2}}} = 0
⇒ 2x\sqrt{(L − x)^{2} + h^{2}} = 2(L − x)\sqrt{x^{2} + h^{2}}
⇒ 4x^{2}(L^{2} − 2Lx + x^{2} + h^{2}) = (4L^{2} − 8Lx + 4x^{2})(x^{2} + h^{2})
⇒ 4L^{2}h^{2} − 8Lxh^{2} = 0
⇒ x = L/2
⇒ θ_{i} = θ_{r}

Fermats prinsipp og brytning: Hastighet i medium 1 er v_{1} og i medium 2 v_{2}. Tidsforbruk fra A via O til B blir da

t = \frac{\sqrt{x^{2} + h_{1}^{2}}}{v_{1}} + \frac{\sqrt{(L − x)^{2} + h_{2}^{2}}}{v_{2}}

Finner minimal tid ved å derivere og sette lik null:

\frac{dt}{dx} = \frac{2x}{v_{1}\sqrt{x^{2} + h_{1}^{2}}} − \frac{2(L − x)}{v_{2}\sqrt{(L − x)^{2} + h_{2}^{2}}} = 0

Vi ser fra figuren at

sin θ_{1} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + h_{1}^{2}}}

mens

sin θ_{2} = \frac{L − x}{\sqrt{(L − x)^{2} + h_{2}^{2}}}

Dermed har vi uten videre

n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}

siden v_{1} = c/n_{1} og v_{2} = c/n_{2}.

Huygens’ prinsipp og refleksjon: Både AB og A’B’ er bølgefronter. Da må vi ha AA’ = BB’. Vi ser fra figuren i oppgaveteksten at

sin θ_{r} = \frac{AA′}{AB′}

og at

sin θ_{i} = \frac{BB′}{AB′}

Men da er

sin θ_{r} = sin θ_{i}

og

θ_{r} = θ_{i}

Huygens’ prinsipp og brytning: Også her er både AB og A’B’ bølgefronter. Da må tidsforbruket fra A til A’ være like stort som tidsforbruket fra B til B’, dvs

t_{AA′} = \frac{AA′}{v_{2}} = t_{BB′} = \frac{BB′}{v_{1}}

Fra figuren i oppgaveteksten ser vi at

sin θ_{1} = \frac{BB′}{AB′}

og at

sin θ_{2} = \frac{AA′}{AB′}

Dermed:

\frac{AB′ sin θ_{2}}{v_{2}} = \frac{AB′ sin θ_{1}}{v_{1}}

dvs

n_{2} sin θ_{2} = n_{1} sin θ_{1}

Oppgave 2

a) Ved figurbetraktning ser vi

θ_{b} = A/2

(Vinklenes høyre bein står normalt på hverandre, og det gjør også vinklenes venstre bein.)

C̸BD = \frac{δ}{2}

(Symmetrisk gjennomgang og derfor like stor brytning gjennom begge flater.) Dermed:

θ_{a} = \frac{δ}{2} + θ_{b} = \frac{δ}{2} + \frac{A}{2}

Fra Snells brytningslov:

\frac{sin θ_{a}}{sin θ_{b}} = \frac{n}{1} = n

Ved å kombinere disse ligningene finner vi

\underline{\underline{sin \frac{δ + A}{2}}} = \underline{\underline{n sin \frac{A}{2}}}

som vi skulle vise.

b) n = 1.62 og A = 60^{∘} gir

sin \frac{δ + A}{2} = n sin \frac{A}{2} = 1.62 · \frac{1}{2} = 0.81

⇒ \frac{δ + A}{2} = 54.1^{∘}

og

δ = 2 · 54.1^{∘} − 60.0^{∘} = 48.2^{∘} ≃ \underline{\underline{48^{∘}}}

c) Fra punkt b:

δ_{i} = 2 arcsin (n_{i} sin \frac{A}{2}) − A

med i = farge nr i, her rød eller fiolett, og A = 60^{∘}. Innsetting av n = 1.60 for rød og n = 1.64 for fiolett gir

δ_{rød} ≃ 46.3^{∘} , δ_{fiolett} ≃ 50.2^{∘}

dvs en differanse på 3.9^{∘}.