Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002 Bølgefysikk Høst 2006

Løsningsforslag til øving 11

Veiledning 9. november

Oppgave 1

Gitterkonstanten:

d = \frac{0.050}{2500} m = 2 · 10^{−5} m

Hovedmaksima når

d sin θ_{n} = nλ

som gir

λ = d sin θ_{1} = 2 · 10^{−5} · \frac{6.2}{\sqrt{250^{2} + 6.2^{2}}} = 496 nm

Oppgave 2

a)

b) Intensitetsfordelingen I har N − 1 nullpunkter mellom to hovedmaksima. Det første nullpunktet har vi når argumentet til sinusfunksjonen i telleren er lik π:

\frac{Nϕ}{2} = π ⇒ ϕ = \frac{2π}{N}

Har selvsagt også nullpunkt for ϕ = −2π/N. Halvverdibredden må bli omtrent lik halvparten av intervallet mellom disse to nullpunktene, dvs

Δϕ ≃ \frac{2π}{N}

c) Vi har

Δϕ = \frac{dϕ}{dθ_{n}} Δθ_{n}

der

\frac{dϕ}{dθ_{n}} = \frac{2πd}{λ} cos θ_{n}
= \frac{2πd}{λ}\sqrt{1 − sin^{2} θ_{n}}
= \frac{2πd}{λ}\sqrt{1 − (nλ/d)^{2}}
= 2π\sqrt{(d/λ)^{2} − n^{2}}

Altså:

Δθ_{n} = \frac{Δϕ}{2π\sqrt{(d/λ)^{2} − n^{2}}} = \frac{1}{N\sqrt{(d/λ)^{2} − n^{2}}}

d) Vi har

sin θ ≃ \frac{y}{L}

der y er avstanden på skjermen fra ”senterlinjen” svarende til vinkelen θ, og L er avstanden fra diffraksjonsgitteret til skjermen, dvs 250 cm. På samme vis som i punkt c:

Δy = \frac{dy}{dθ} Δθ

der

\frac{dy}{dθ} = L cos θ

Dermed:

Δy_{0} = L cos 0 · Δθ_{0} = 250 cm · 1 · \frac{1}{2500 · \sqrt{40.3^{2}}} ≃ 25 μm

Dette er halvverdibredden, slik at bredden på hele linjen blir ca 50 μm.

e) Bruker rett og slett kriteriet for hovedmaksimum:

θ_{n} = arcsin(nλ/d)

Innsetting gir

θ_{0}^{R} = θ_{0}^{B} = arcsin 0 = 0
θ_{1}^{R} = arcsin \frac{726 · 10^{−9}}{2 · 10^{−5}} = 2.08^{∘}
θ_{1}^{B} = arcsin \frac{496 · 10^{−9}}{2 · 10^{−5}} = 1.42^{∘}
θ_{2}^{R} = arcsin \frac{1452 · 10^{−9}}{2 · 10^{−5}} = 4.16^{∘}
θ_{2}^{B} = arcsin \frac{992 · 10^{−9}}{2 · 10^{−5}} = 2.84^{∘}

Posisjonene på skjermen får vi deretter fra y = L tan θ. (Her spiller det liten rolle om vi bruker tan θ, sin θ eller rett og slett θ, sistnevnte tilfelle i radianer.) Utregning gir

y_{0}^{R} = y_{0}^{B} = 0
y_{1}^{B} = 6.2
y_{1}^{R} = 9.1
y_{2}^{B} = 12.4
y_{2}^{R} = 18.2

alt i enheten cm.

Oppgave 3

En frekvens 92.3 MHz tilsvarer bølgelengden

λ = c/ν = 3.25 m

Vi har med andre ord d = λ. Kriteriet for konstruktiv interferens mellom radiobølgene fra de to dipolantennene blir dermed

sin θ = m

som bare kan være oppfylt for m = 0, i retning Sverresborg, og for m = 1, i retning Ladehammeren. Fra figuren ser vi at retning mot Ila tilsvarer en vinkel θ ≃ 30^{∘}. Kriteriet for destruktiv interferens er nettopp

sin θ = m + 1/2 = 1/2

dvs θ = 30^{∘}. Du bør derfor ikke bosette deg i Ila.

Mulige tiltak for å gi intensitet i alle tre retninger:

• Dobbelt så stor avstand mellom antennene, dvs d = 2λ. Får da konstruktiv interferens nettopp i de tre aktuelle retningene.

• Mange antenner.

• ...