Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002 Bølgefysikk Høst 2006

Løsningsforslag til øving 13

Gjennomgang 23. november

Oppgave 1

a) I følge Galileo: (\overline{S} = \overline{S}iv, S = Sam, T = Toget)

v_{\overline{S}S}^{G} = v_{\overline{S}T} + v_{T S}

I følge Einstein:

v_{\overline{S}S}^{E} = \frac{v_{\overline{S}T} + v_{T S}}{1 + v_{\overline{S}T} v_{T S}/c^{2}}

Dermed:

\frac{v_{\overline{S}S}^{G} − v_{\overline{S}S}^{E}}{v_{\overline{S}S}^{G}} = v_{\overline{S}T} v_{T S}/c^{2} = 3.4 · 10^{−14} %

Her har vi brukt at

\frac{1}{1 + v_{\overline{S}T} v_{T S}/c^{2}} ≃ 1 − v_{\overline{S}T} v_{T S}/c^{2}

når hastighetene v_{\overline{S}T} og v_{T S} er små i forhold til c, og det er jo tilfelle her. Med andre ord: Ingen stor feil å bruke galileisk relativitet her.

b)

v_{\overline{S}S} = \frac{c/2 + 3c/4}{1 + (1/2) · (3/4)} = \frac{10c}{11}

Legg merke til at \overline{S}ivs hastighet i forhold til Sam er mindre enn c. I følge Galileo ville den ha vært 5c/4.

c) Vi innfører dimensjonsløse størrelser β = v_{\overline{S}S}/c, β_{1} = v_{\overline{S}T} /c og β_{2} = v_{T S}/c. Oppgaven blir da å vise at hvis både β_{1} < 1 og β_{2} < 1, så er også β < 1. Alternativt kan vi vise at β^{2} < 1:

β^{2} = (\frac{β_{1} + β_{2}}{1 + β_{1}β_{2}} )^{2}
= \frac{β_{1}^{2} + β_{2}^{2} + 2β_{1}β_{2}}{1 + β_{1}^{2}β_{2}^{2} + 2β_{1}β_{2}}
= \frac{1 + β_{1}^{2}β_{2}^{2} + 2β_{1}β_{2}}{1 + β_{1}^{2}β_{2}^{2} + 2β_{1}β_{2}} − \frac{1 − β_{1}^{2} − β_{2}^{2} + β_{1}^{2}β_{2}^{2}}{1 + β_{1}^{2}β_{2}^{2} + 2β_{1}β_{2}}
= 1 − \begin{matrix}(1 − β_{1}^{2}) & (1 − β_{2}^{2}) \\ (1 + β_{1}β_{2}) & 2 \end{matrix}
< 1

Oppgave 2

Vi kjenner \overline{S}ivs hastighet i forhold til Sam:

v_{\overline{S}S} = \frac{5c}{8}

Kulas hastighet i forhold til Sam:

v_{KS} = \frac{v_{KA} + v_{AS}}{1 + v_{KA}v_{AS}/c^{2}} = \frac{8c}{13}

(Her er hele tiden v_{ij} hastigheten til i i forhold til j, og A, K og S står for Arne, Kula og Sam.) Altså har kula litt mindre hastighet enn \overline{S}iv, slik at \overline{S}iv overlever. Vi kan bruke Einsteins regel for addisjon av hastigheter til å bestemme alle fires hastigheter i forhold til hverandre. Oppsummert i en tabell (med alle hastigheter i enheten c):

hastigheten til... →  S  A  K  \overline{S}

...i forhold til ↓

S 0 3/8 8/13 5/8
A -3/8  0 5/16 16/49
K -8/13 -5/16  0 1/64
\overline{S} -5/8 -16/49 -1/64  0

Vi ser at \overline{S}iv har større hastighet enn kula, uansett hvem vi spør.

Oppgave 3

Avstanden fra deg til klokke nr 201 er 200 · 300000 km. Lyset bruker 200 sekunder på denne strekningen. Følgelig ser du at klokke nr 201 viser 11:56:40 når klokke nr 1 viser 12:00:00. Men du observerer at klokke nr 201 er 12:00:00. Å observere betyr det samme som å måle, og du vet at du må korrigere for at lyset har reist 200 · 300000 km for å nå fram til øyet ditt.

Oppgave 4

Myonets totale energi er E_{μ} = γmc^{2} = 2·10^{9} eV, mens dets hvileenergi er E_{μ}^{0} = mc^{2} = 105.7·10^{6} eV. Det betyr at lorentzfaktoren er

γ = \frac{E_{μ}}{E_{μ}^{0}} = 18.92

Myonets hastighet er dermed

v = c\sqrt{1 − 1/γ^{2}} = 0.9986 c

Den oppgitte levetiden på 2.2 μs gjelder for myoner med lave hastigheter. Observert fra jorda vil dermed et myon med hastighet 0.9986 c ha en levetid

Δt = γΔ\overline{t} = 18.92 · 2.2μs = 41.6μs

På denne tiden reiser myonet en avstand

Δx = vΔt = 12.5 km

som er av samme størrelsesorden som avstanden fra jorda og opp til de øvre deler av atmosfæren, der myonet ble dannet.

Oppgave 5

Vi starter med å skrive u og \overline{u} på komponentform:

u = (u_{x}, u_{y}, u_{z}) = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} , \frac{dz}{dt} )

\overline{u} = (\overline{u}_{x}, \overline{u}_{y}, \overline{u}_{z}) = (\frac{d\overline{x}}{d\overline{t}}, \frac{d\overline{y}}{d\overline{t}} , \frac{d\overline{z}}{d\overline{t}} )

Deretter bruker vi lorentztransformasjonene,

d\overline{x} = γ(dx − vdt)
d\overline{y} = dy
d\overline{z} = dz
d\overline{t} = γ(dt − vdx/c^{2})

direkte og finner

\overline{u}_{x} = \frac{dx − vdt}{dt − vdx/c^{2}} = \frac{u_{x} − v}{1 − u_{x}v/c^{2}}
\overline{u}_{y} = \frac{dy}{γ(dt − vdx/c^{2})} = \frac{u_{y}}{γ(1 − u_{x}v/c^{2})}
\overline{u}_{z} = \frac{dz}{γ(dt − vdx/c^{2})} = \frac{u_{z}}{γ(1 − u_{x}v/c^{2})}

Oppgave 6

\overline{S}iv reiser i alt en avstand Δx = 24 lysår. Hastigheten hennes er v = 0.98c. Hun må dermed ha brukt en tid Δt = Δx/v = 24.490 år. Sam er med andre ord ca 42 og et halvt år når \overline{S}iv kommer hjem. På grunn av tidsdilatasjon går \overline{S}ivs klokker betydelig langsommere (både den klokka hun har på armen og hennes biologiske klokke). Hun måler et tidsforbruk Δ\overline{t} = Δt/γ = 4.873 år. \overline{S}iv er dermed snaut 23 år når hun kommer hjem.

”Paradokset”: Vil det ikke fra \overline{S}ivs synsvinkel være omvendt? Dvs, slik at det er Sam som reiser med hastighet 0.98c mens \overline{S}iv forholder seg i ro? I såfall burde \overline{S}iv konkludere med at det er Sam som er den yngste av de to når hun kommer hjem.

Kortforklaringen på at dette ikke er tilfelle: \overline{S}iv er ikke i ett og samme inertialsystem under hele reisen. Hun må gjennomgå en akselerasjon i det hun snur. Sam, derimot, er hele tiden i samme inertialsystem, så vi må stole på ham. Altså er Sam eldre enn \overline{S}iv.

Problemet kan analyseres noe mer inngående: Vi innser raskt at vi her har med tre inertialsystem å gjøre: S, der Sam hele tiden er i ro; \overline{S}, der romskipet og \overline{S}iv er i ro på utreisen; Ŝ, der romskipet og \overline{S}iv er i ro på hjemreisen. Ulike hendelser, og dermed ulike lengder og tidsintervaller, i de ulike inertialsystemene vil være relatert via lorentztransformasjonene (LT). Vi velger hendelsen avreise (A) ved tidspunktet t_{A} = \overline{t}_{A} = t̂_{A} = 0 og i posisjonen x_{A} = \overline{x}_{A} = x̂_{A} = 0. Hendelsen A definerer med andre ord et felles origo for de tre inertialsystemene. Positiv retning i rommet velges fra jorda og mot Epsilon Indi (EI). Det betyr at aktuelle relative hastigheter er

v_{\overline{S}S} = v = 0.98c
v_{ŜS} = −v = −0.98c
v_{\overline{S}Ŝ} = \frac{v_{\overline{S}S} + v_{SŜ}}{1 + v_{\overline{S}S}v_{SŜ}/c^{2}} = \frac{v + v}{1 + v^{2}/c^{2}} ≃ 0.9998c

Vi trenger her bare å bruke de to første, som har samme lorentzfaktor

γ = \frac{1}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} = 5.025

Neste hendelse (B) er at \overline{S}iv ankommer EI. I Sams verden S er da x_{B} = 12 (lysår) og t_{B} = x_{B}/v = 12/0.98 = 12.245 (år). LT gir oss ”koordinatene” for hendelse B i \overline{S} og Ŝ:

\overline{x}_{B} = γ(x_{B} − vt_{B}) = 0
\overline{t}_{B} = γ(t_{B} − vx_{B}/c^{2}) = γ \frac{x_{B}}{v} (1 − v^{2}/c^{2}) = \frac{x_{B}}{γv} = \frac{12}{5.025 · 0.98} = 2.437
x̂_{B} = γ(x_{B} + vt_{B}) = 2γx_{B} = 2 · 5.025 · 12 = 120.605
t̂_{B} = γ(t_{B} + vx_{B}/c^{2}) = γt_{B}(1 + v^{2}/c^{2}) = 120.625

Dette betyr at \overline{S}ivs klokke viser 2.437 umiddelbart før hun snur. Det at hun snur innebærer at hun hopper fra inertialsystemet \overline{S} til Ŝ. Riktig klokke i Ŝ viser 120.625. Følgelig må \overline{S}iv stille klokka si 118.188 år fram hvis hun ønsker at klokka hennes skal vise det samme som alle andre klokker i Ŝ. Dette betyr selvsagt ikke at \overline{S}iv plutselig har blitt 118.188 år eldre. Hun er fortsatt 18 + 2.437 = 20.437 år gammel. Neste hendelse (C) er at \overline{S}iv kommer hjem. I Sams verden S har denne hendelsen koordinatene x_{C} = 0 og t_{C} = 2t_{B} = 24.490. LT gir oss igjen de tilsvarende koordinatene i \overline{S} og Ŝ:

\overline{x}_{C} = γ(x_{C} − vt_{C}) = −120.601
\overline{t}_{C} = γ(t_{C} − vx_{C}/c^{2}) = γt_{C} = 123.062
x̂_{C} = γ(x_{C} + vt_{C}) = γvt_{C} = 120.601
t̂_{C} = γ(t_{C} + vx_{C}/c^{2}) = γt_{C} = 123.062

Her må vi holde tunga rett i munnen: Turen hjem, målt med \overline{S}ivs klokke, varte t̂_{C} − t̂_{B} = 123.062 − 120.625 = 2.437 år (enten hun stilte klokka eller ikke). Ikke overraskende tok det like lang tid begge veier. \overline{S}iv konkluderer med at hun har blitt 4.874 år eldre siden avreise (hendelse A). Altså er Sam og \overline{S}iv enige om \overline{S}ivs alder, 22.874 år, ved hjemkomst (hendelse C).

Det gjenstår da kun å kontrollere at de også er enige om Sams alder ved hjemkomst. \overline{S}iv må nå forholde seg til inertialsystemene Ŝ og S. Hele reisen, fra hendelse A til hendelse C tok en tid t̂_{C} − t̂_{A} = 123.062 år. Sett fra Ŝ har inertialsystemet S hele tiden hatt konstant hastighet v = 0.98c. En observatør i Ŝ (og det er jo nettopp det \overline{S}iv er ved hjemkomst!) vil da, med rette, hevde at en tidsmåling i S mellom hendelsene A og C må vise

\frac{t̂_{C} − t̂_{A}}{γ} = \frac{123.062}{5.025} = 24.490

Og det er nettopp hva Sam selv hevder han har målt, så Sam og \overline{S}iv er også enige om Sams alder ved hjemkomst, 42.490 år.