Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002 Bølgefysikk Høst 2006

Løsningsforslag til øving 4

Veiledning 14. september

Oppgave 1

a) Bølgehastigheten for transversale bølger på en streng er utledet i forelesningene. Vi får

v = \sqrt{\frac{S}{μ}} = \sqrt{\frac{8.5}{0.028}} ≃ 17m/s

Vi har ikke dispersjon i dette systemet, så v er den samme for alle bølger, uansett frekvens.

b)

v = \frac{λ}{T} = λν

som gir bølgelengden

λ = \frac{v}{ν} ≃ 17m

Ettersom λ er omvendt proporsjonal med ν, vil en frekvens på 3.0 Hz resultere i en bølgelengde på ca 5.8 m.

c) Vi har harmoniske bølger som kan beskrives ved

y(x, t) = A cos(kx − ωt + ϕ)

der k = 2π/λ er bølgetallet og ϕ en fasekonstant. Vi velger x = 0 ved svingekilden og har

y(0, t) = A cos(−ωt + ϕ) = A cos ωt

som gir ϕ = 0 siden cos u = cos(−u). Dermed er bølgen beskrevet ved

y(x, t) = A cos(kx − ωt)

For x = 1.0 og x = 5.0 m får vi

y(1.0, t) ≃ A cos (2π \frac{1.0}{17} − 2πt)

y(5.0, t) ≃ A cos (2π \frac{5.0}{17} − 2πt)

med t målt i sekunder. Faseforskjellen mellom utsvinget i disse to posisjonene er

Δϕ = \frac{8π}{17} ≃ 1.4 ≃ 83^{∘}

d) Økningen i masse pr lengdeenhet skyldes åpenbart en økning i massen, enten ved at det er hektet på flere strikker eller ved at det er satt på flere muttere. Redusert strekk-kraft S (ved en lengde på 8 m) kan skyldes at strikkene har blitt slakkere over tid. Men vi får også redusert S dersom det er hektet på flere strikker. Da trenger vi jo ikke å dra så hardt for å gi den en lengde på 8 m.

Oppgave 2

a)

|D⃗| = D_{0} [cos^{2}(kx − ωt) + sin^{2}(kx − ωt)]^{1/2}
= D_{0}

for alle x og t. Med andre ord, vi har overalt og til enhver tid et utsving med konstant amplitude D_{0}. Dette betyr at spissen på vektoren D⃗ alltid ligger på en sirkel med radius D_{0}. Siden både D_{z} og D_{y} kontinuerlig gjennomløper alle verdier mellom −D_{0} og +D_{0}, må D⃗ kontinuerlig gjennomløpe alle punkter på sirkelen. Dvs at bølgen er sirkulærpolarisert.

b)

D_{z} = D_{0} cos(kx − ωt) = D_{0} cos(ωt − kx)
D_{y} = D_{0} sin(kx − ωt) = D_{0} cos(kx − ωt − π/2)
= D_{0} cos [(ωt + π/2) − kx]

Dette betyr at for alle verdier av x ligger D_{y} faseforskjøvet π/2 foran D_{z}. F.eks. vil D_{y} nå sin maksimalverdi +D_{0} en fase π/2 tidligere enn D_{z}. Når D_{y} = +D_{0}, er D_{z} = 0, og D_{y} = 0 nr D_{z} = +D_{0}. Dvs at vi for enhver verdi av x (f.eks. x = 0) har en situasjon som skissert nedenfor:

Bølgen forplanter seg i positiv x-retning. Vi ser derfor av skissen ovenfor at D⃗ roterer mot urviseren for en observatør som ser mot bølgens forplantningsretning. Bølgen er altså venstresirkulærpolarisert.

c) Skal vi ha en bølge som er høyre-sirkulærpolarisert, må vi la D_{z} ligge en fase π/2 foran D_{y}. Det får vi ved f.eks.

D_{z} = D_{0} sin(kx − ωt)

og

D_{y} = D_{0} cos(kx − ωt)

d) Vi har at

sin(kx − ωt + π) = − sin(kx − ωt)

slik at for bølgen beskrevet ved

D = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + D_{0} sin(kx − ωt + π)ẑ

vil vi ha like stor y− og z−komponent, men med motsatt fortegn. Det skulle da bli følgende rette linje i yz-planet (z = −y):

For bølgen beskrevet ved

D = D_{y} ŷ + D_{z} ẑ = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + 2D_{0} cos(kx − ωt)ẑ

får vi en ellipse i yz-planet: ettersom vi har

(\frac{D_{y}}{D_{0}} )^{2} + (\frac{D_{z}}{2D_{0}} )^{2} = sin^{2} ωt + cos^{2} ωt = 1

dvs ellipse med akse D_{0} i y−retning og akse 2D_{0} i z−retning.