Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høst 2006

Øving 5

Veiledning: Torsdag 21. september Innleveringsfrist: Mandag 25. september

Oppgave 1

En gaussformet bølgepuls

ξ(x, t) = ξ_{0} exp [−\frac{(x − vt)^{2}}{a^{2}} ]

vandrer med hastighet v langs ei fjær med massetetthet μ [kg/m] og elastisk modul K [N]. Størrelsen ξ(x, t) representerer det longitudinale utsvinget (i forhold til likevekt) ved tidspunkt t for den biten av fjæra som har likevektsposisjon x.

a) Hvordan kan vi være sikre på at ξ(x, t) virkelig er en mulig bølgepuls langs ei slik fjær? I hvilken retning propagerer bølgen?

b) Hvordan avhenger bølgehastigheten v av fjæras elastiske egenskaper (dvs K) og treghetsegenskaper (dvs μ)? Kontroller at uttrykket for v har riktig dimensjon.

c) Finn et uttrykk for (den totale) energien E assosiert med bølgepulsen. Kontroller at uttrykket for E har riktig dimensjon. Tips: Ta utgangspunkt i at bølgens energi pr lengdeenhet er

ε(x, t) = μv^{2} (\frac{dξ}{dX} )^{2}

som utledet i forelesningene, med X ≡ x − vt. Dermed er ε(x, t) dx bølgens energiinnhold mellom x og x + dx. Det oppgis her følgende integral:

∫_{−∞}^{∞} β^{2}e^{−β^{2}}dβ = \frac{\sqrt{π}}{2}

Oppgave 2

Svar: 1c: E = \sqrt{π}μv^{2}ξ_{0}^{2}/\sqrt{2}a Som nevnt i forelesningene, er det mulig å finne en eksakt løsning for longitudinale bølger på masse-fjær-transmisjonslinjen, uten å anta at bølgelengden λ er mye større enn avstanden d mellom to nabomasser. Ved å betrakte kreftene som virker på massen m med likevektsposisjon x, endte vi opp med følgende bevegelsesligning:

m\frac{∂^{2}ξ}{∂t^{2}} = s [ξ(x + d) + ξ(x − d) − 2ξ(x)]

Her er ξ(x ± d) utsvinget til massen med likevektsposisjon x ± d, mens s er fjærkonstanten (bruker her s siden vi trenger k for å angi bølgetallet). La oss starte med å anta at en harmonisk bølge på formen

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt)

er løsning av bevegelsesligningen over.

a) Bestem ξ(x + d) − ξ(x) og ξ(x − d) − ξ(x) ved å benytte relasjonen

sin α − sin β = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α − β}{2}

b) Vis deretter at bevegelsesligningen ovenfor resulterer i følgende sammenheng mellom vinkelfrekvensen ω og bølgetallet k:

ω^{2} = \frac{4s}{m} sin^{2} (\frac{kd}{2})

c) I forelesningene viste vi at for lange bølgelengder (λ ≫ d, eventuelt kd ≪ 1) blir bølgehastigheten konstant (dvs uavhengig av bølgelengden) og lik

v = \frac{ω}{k} = \sqrt{\frac{sd^{2}}{m}}

Vis at den eksakte sammenhengen mellom ω og k (den såkalte dispersjonsrelasjonen) fra punkt b gir samme resultat for v i grensen kd ≪ 1.

d) Et slik enkelt masse-fjær-system som vi har sett på her, er en ganske brukbar modell for forplantning av longitudinale bølger i krystallinske materialer. Du vil lære mer om dette i emner som Faste stoffers fysikk senere i studiet. Bruk resultatene ovenfor til å vise at longitudinale bølger tilsvarende hørbar lyd vil forplante seg med konstant (dvs frekvensuavhengig) hastighet v gjennom et metall. Tips: Anslå bølgelengden for hørbar lyd og sammenlign med en typisk avstand mellom naboatomer i en metallkrystall. a) Figuren viser sammenhengen mellom vinkelfrekvensen ω og bølgetallet k for en bestemt type bølger. Hvilket utsagn er da korrekt?

A Fasehastigheten er her den samme

uansett bølgelengde.

B Fasehastigheten er her størst

for korte bølgelengder.

C Fasehastigheten er her størst

for lange bølgelengder.

D Fasehastigheten øker alltid med

økende frekvens.

b) Transversale bølger på en streng med strekk-kraft S forplanter seg med bølgehastighet v. En liten endring ΔS i strekk-kraften fører da til en endring i bølgehastigheten lik

A Δv = −v ΔS/2S
B Δv = v ΔS/2S
C Δv = v ΔS/S
D Δv = −v ΔS/S

c) Transversale bølger på en streng med massetetthet μ forplanter seg med bølgehastighet v. En liten endring Δμ i massetettheten fører da til en endring i bølgehastigheten lik

A Δv = −v Δμ/2μ
B Δv = v Δμ/2μ
C Δv = v Δμ/μ
D Δv = −v Δμ/μ