Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002 Bølgefysikk Høst 2006

Løsningsforslag til øving 6

Veiledning 28. september

Oppgave 1

a) Bølgelengden:

λ = \frac{v}{ν} = \frac{330}{1000} m = 33 cm

Intensitetsnivået β målt i dB er definert ved

β = 10 log \frac{I}{I_{0}}

der referanseintensiteten I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}. Med I = 10^{−9} W/m^{2} har vi

β = 10 log \frac{10^{−9}}{10^{−12}} = 10 · 3 = 30 dB

Intensiteten I tilsvarer en (midlere) effekt P pr flateenhet A. Effekten som mottas på en flate med areal 0.5 cm^{2} blir dermed

P = I · A = 10^{−9} W/m^{2} · 0.5 · 10^{−4} m^{2} = 5 · 10^{−14} W

(som er under forutsetning av at lydbølgen faller normalt inn mot trommehinnen.)

b) Sammenhengen mellom intensiteten I og utsvingsamplituden ξ_{0} har vi utledet i forelesningene:

I = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}v

Her er ρ massetettheten, ω er vinkelfrekvensen, og v er bølgehastigheten. Dermed:

ξ_{0} = \frac{1}{2πν} \sqrt{\frac{2I}{ρv}} = \frac{1}{2000π} \sqrt{\frac{2 · 10^{−9}}{1.3 · 330}} m ≃ 0.34 nm

Utsvinget er altså her av samme størrelsesorden som molekylenes utstrekning. Trykkendringen Δp er relatert til utsvinget ξ (se forelesningene):

Δp = −γp\frac{∂ξ}{∂x}

Med en plan harmonisk bølge får vi

Δp(x, t) = −γpkξ_{0} cos(kx − ωt)

med amplitude

(Δp)_{0} = γpkξ_{0} = \frac{7}{5} · 10^{5} · \frac{2π}{0.33} · 0.34 · 10^{−9} ≃ 0.9 mPa

Relativ trykkvariasjon i forhold til likevektstrykket p blir

\frac{(Δp)_{0}}{p} = \frac{0.9 · 10^{−3}}{10^{5}} = 9 · 10^{−9}

Ikke rare greiene!

c) Fra tilstandsligningen for ideell gass, pV = Nk_{B}T får vi

Δp = Δ (\frac{Nk_{B}T}{V} )
= \frac{Nk_{B}}{V} ΔT − Nk_{B}T \frac{ΔV}{V^{2}}
= \frac{Nk_{B}T}{V} \frac{ΔT}{T} − \frac{Nk_{B}T}{V} \frac{ΔV}{V}
= p \frac{ΔT}{T} − p \frac{ΔV}{V}

Som ventet: En trykkøkning (Δp > 0) ledsages både av en temperaturøkning (ΔT > 0) og en volumreduksjon (ΔV < 0). Det som gjenstår er å finne ut hvor store ΔT og ΔV er hver for seg. Det får vi til ved å benytte oss av antagelsen om adiabatiske forhold, nemlig

pV^{γ} = konstant

Det medfører at

Δp = −γp\frac{ΔV}{V}

eller

−\frac{ΔV}{V} = \frac{1}{γ} \frac{Δp}{p}

som innsatt i uttrykket ovenfor for Δp gir

Δp = p \frac{ΔT}{T} + \frac{1}{γ} Δp

og endelig

\frac{ΔT}{T} = (1 − \frac{1}{γ} ) \frac{Δp}{p}

Med andre ord: Temperaturvariasjonen ΔT (x, t) forplanter seg, på tilsvarende vis som Δp(x, t), som en bølge med amplitude

(ΔT)_{0} = (1 − \frac{1}{γ} ) \frac{T}{p} (Δp)_{0}

Den relative temperaturvariasjonen blir

\frac{(ΔT)_{0}}{T} = (1 − \frac{5}{7}) · 9 · 10^{−9} ≃ 3 · 10^{−9}

Absolutt temperaturvariasjon blir

(ΔT)_{0} ≃ 1μK

Heller ikke rare greiene.

Oppgave 2

a) B

β_{1} = 10 log \frac{I_{1}}{I_{0}}
⇒ \frac{β_{1}}{10} = log I_{1} − log I_{0}
β_{2} = 10 log \frac{I_{2}}{I_{0}} = β_{1} + 5
⇒ \frac{β_{1}}{10} + \frac{1}{2} = log I_{2} − log I_{0}
⇒ log I_{2} − log I_{1} = \frac{1}{2}
⇒ \frac{I_{2}}{I_{1}} = 10^{1/2} ≃ 3.16

b) C Intensiteten er proporsjonal med utsvingsamplituden kvadrert, mens trykkamplituden er proporsjonal med utsvingsamplituden (se f.eks. oppgave 1b). Dermed blir intensiteten proporsjonal med trykkamplituden kvadrert, og vi finner

\frac{p_{2}}{p_{1}} = \sqrt{\frac{I_{2}}{I_{1}}} = 10^{1/4} ≃ 1.78

c) D

I = \frac{P}{A_{halvkule}} = \frac{P}{2πr^{2}} = \frac{0.2}{2π · 4^{2}} ≃ 2.0 mW/m^{2}
⇒ β = 10 log \frac{2.0 · 10^{−3}}{10^{−12}} = 93 dB

Oppgave 3

a) Litt repetisjon: Generelt er hastigheten til mekaniske bølger gitt ved

v = \sqrt{mediets elastiske modul mediets massetetthet} Lydhastigheten i en gass er dermed i utgangspunktet gitt ved

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

der B er gassens bulkmodul [N/m^{2}] og ρ er gassens massetetthet [kg/m^{3}]. I forelesningene viste vi at for en ideell gass under adiabatiske forhold (ingen utveksling av varme - det foregår typisk veldig langsomt i forhold til hvor fort lyden forplanter seg) kan bulkmodulen uttrykkes ved hjelp av trykket p og den såkalte adiabatkonstanten γ ≡ C_{p}/C_{V}:

B = γp

Her er C_{p} = (dQ/dT)_{p} gassens varmekapasitet (evt. spesifikk varme) når trykket p holdes konstant, mens C_{V} = (dQ/dT)_{V} tilsvarende er varmekapasiteten når volumet V holdes konstant. Symbolet Q angir varme, mens T er temperaturen. For gasser med en-atomige molekyler er γ = 5/3, og for gasser med to-atomige molekyler er γ = 7/5. Dermed blir lydhastigheten

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}}

For ideell gass har vi sammenhengen

pV = Nk_{B}T

mellom gassens trykk p, volum V, temperatur T og antall molekyler N. (k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K er Boltzmanns konstant) Massetettheten kan skrives ρ = m · N/V, der m er molekylmassen. Dermed kan lydhastigheten også uttrykkes ved

v = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

Vi har her T = 303 K og molekylmasse

m = 40 · 1.67 · 10^{−27} kg ≃ 6.68 · 10^{−26} kg

Dermed blir lydhastigheten

v = \sqrt{\frac{5 · 1.38 · 10^{−23} · 303}{3 · 6.68 · 10^{−26}}} ≃ 323 m/s

Dette er ikke langt unna den målte verdien 324.37 m/s, så det tyder på at antagelsene om ideell gass og adiabatiske forhold er gode.

b) Dersom trykket i gassen økes fra 1 til 2 atm uten at temperaturen endres, vil eksperimentet gi uendret lydhastighet, ettersom v = \sqrt{γk_{B}T/m}, dvs egentlig bare avhengig av temperaturen. Dersom trykket i gassen økes fra p_{1} til p_{2} = 2p_{1} uten at varme utveksles med omgivelsene (dvs adiabatisk), vil både temperaturen T og massetettheten ρ øke. Vi kan starte med å finne det nye volumet V_{2} (dvs: det volumet som ved trykk p_{2} = 2 atm okkuperes av like mange molekyler N som ved p_{1} = 1 atm okkuperte et volum V_{1}). Vi bruker antagelsen om adiabatiske forhold, pV^{γ} = konstant:

p_{1}V_{1}^{γ} = p_{2}V_{2}^{γ}
p_{1}V_{1}^{γ} = 2p_{1}V_{2}^{γ}
V_{2} = (\frac{1}{2})^{1/γ} V_{1} = (\frac{1}{2})^{3/5} V_{1} ≃ 0.66V_{1}

Ny temperatur T_{2} blir dermed

T_{2} = \frac{p_{2}V_{2}}{Nk_{B}}
= \frac{2p_{1} · 0.66V_{1}}{Nk_{B}}
= 1.32\frac{p_{1}V_{1}}{Nk_{B}}
= 1.32T_{1}

Molekylmassen har ikke endret seg, så den nye lydhastigheten blir

v_{2} = \sqrt{\frac{γk_{B}T_{2}}{m}}
= \sqrt{1.32}v_{1}
= 372.60 m/s