Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002 Bølgefysikk Høst 2006

Løsningsforslag til øving 7

Veiledning 5. oktober

Oppgave 1

a) I forelesningene har vi utledet sammenhengene mellom amplituden A til innkommende bølge og amplitudene B og C til henholdsvis reflektert og transmittert bølge:

B = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} A
C = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} A

Her er μ_{2} = 90 g/m masse pr lengdeenhet på den tunge delen av strengen, μ_{1} = 10 g/m er masse pr lengdeenhet på den lette delen av strengen og A = 5 mm. Innsetting av disse tallverdiene gir B = 2A/4 = 2.5 mm og C = 2A/4 = 2.5 mm.

b) Fra forelesningene har vi følgende uttrykk for midlere effekt transportert med den innkommende bølgen (også oppgitt i oppgaveteksten):

\overline{P}_{i} = \frac{1}{2}vμ_{1}ω^{2}A^{2}
= \frac{1}{2}\sqrt{S/μ_{1}}μ_{1}ω^{2}A^{2}
= \frac{1}{2}\sqrt{Sμ_{1}}ω^{2}A^{2}
= \frac{1}{2}\sqrt{4 · 10 · 10^{−3}} · (10π)^{2} · (5 · 10^{−3})^{2}
= 2.5 mJ/s

Andel av effekten som reflekteres er gitt ved refleksjonskoeffisienten R = \overline{P}_{r}/\overline{P}_{i}:

R = (\frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} )^{2} = 0.25 = 25%

Resten blir transmittert:

T = 1 − R = 0.75 = 75%

c) Utsvinget til venstre for skjøten i x = 0 er:

y(x, t) = y_{i}(x, t) + y_{r}(x, t)
= A (sin(kx − ωt) + \frac{1}{2} sin(kx + ωt))
= A (sin kx cos ωt − cos kx sin ωt + \frac{1}{2} sin kx cos ωt + \frac{1}{2} cos kx sin ωt)
= A (\frac{3}{2} sin kx cos ωt − \frac{1}{2} cos kx sin ωt)

som er en sum av to stående bølger.

d) Nei, vi kan ikke konkludere med at bølgen y(x, t) på den lette delen av strengen ikke transporterer noen netto energi. Riktignok er den en sum av to stående bølger, men på samme måte som en sum av to vandrende bølger sammen kan bli en stående bølge som ikke transporterer netto energi, kan en sum av to stående bølger til sammen være en vandrende bølge som transporterer netto energi. Og det er jo tilfelle her. Figuren nedenfor viser øyeblikksbilder av y(x, t) i området mellom kx = −4π og kx = 0. Stjernene antyder hvordan en bestemt bølgetopp propagerer mot høyre, med varierende amplitude.

e) Uansett skjøtens posisjon kan vi for det første velge ϕ_{i} = 0 (for eksempel). Fysikken kan ikke avhenge av hvor vi legger skjøten. Med andre ord: Dersom vi hadde en bestemt sammenheng mellom fasene til y_{i} og y_{r} med skjøten i x = 0, må vi fortsatt ha den samme bestemte sammenhengen med skjøten i x = a. Det oppnår vi ved å velge ϕ_{r} = −2ka. Da blir nemlig

y_{i}(a, t) = A sin(ka − ωt) = −A sin(ωt − ka)

og

y_{r}(a, t) = B sin(ka + ωt − 2ka) = B sin(ωt − ka)

dvs

y_{r}(a, t) = −\frac{B}{A} y_{i}(a, t)

den samme sammenhengen mellom y_{r} og y_{i} som vi hadde i x = 0 med skjøten i x = 0, dvs enten y_{r} og y_{i} i fase (motsatt fortegn på B og A) eller y_{r} og y_{i} i motfase (samme fortegn på B og A) i skjøten. Mer generelt må vi, med skjøten i x = a, velge fasekonstanter slik at

ϕ_{r} + ϕ_{i} = −2ka

Oppgave 2

a) B Grunntonen på en svingende streng som er festet i begge ender har bølgelengde λ = 2L, der L er strengens lengde. En bestemt frekvens ν oppnås da ved å sørge for at bølgehastigheten blir

v = λν = 2νL

Samtidig vet vi at v er bestemt ved strammingen S og strengens masse pr lengdeenhet μ:

v = \sqrt{S/μ}

Strammingen må derfor være

S = μv^{2}
= \frac{m}{L} · 4ν^{2}L^{2}
= 4mν^{2}L
= 4 · 0.0002 · 440^{2} · 0.370
≃ 57.3 N

b) A Stående lydbølger i et tynt luftfylt rør som er åpent i begge ender, har knutepunkt, Δp = 0, for trykkbølgen i begge ender, dvs i x = 0 og i x = L, der L = 0.5 m i dette tilfellet. Utsvingsbølgen ξ har dermed maksimal amplitude (buk) i begge ender. Laveste resonansfrekvens (grunntonen) må dermed ha bølgelengde λ = 2L = 1 m. Med lydhastighet v = 340 m/s blir laveste resonansfrekvens

ν = v/λ = 340 Hz

c) C Rørets resonansfrekvenser er ν_{n} = n · 340 Hz, med n = 1, 2, .... Resonans nr n har n knutepunkter for den stående utsvingsbølgen ξ. Altså 4 knutepunkter for moden med frekvens 1360 Hz. d) D Vi kan tenke på dette systemet som tvungne svingninger: Den vibrerende gitarstrengen virker som en ekstern harmonisk kraft på luftmolekylene omkring, som dermed tvinges til å svinge fram og tilbake med samme frekvens som den vibrerende strengen. Bølgehastigheten er bestemt ved mediets elastiske egenskaper og mediets massetetthet og er generelt forskjellig for strengen og lufta. Dermed blir også bølgelengden λ = v/ν generelt forskjellig. Når det gjelder amplituden, vil det nok være en sammenheng mellom disse, for et kraftigere anslag på strengen resulterer jo i sterkere lyd. Men som vi har sett i en tidligere øving, vil utsvingsamplituden til luftmolekylene typisk være av størrelsesorden noen få nanometer (med lydintensitet godt under smertegrensen), som åpenbart er mye mindre enn typiske amplituder på en vibrerende gitarstreng.