Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002 Bølgefysikk Høst 2006

Løsningsforslag til øving 9

Veiledning 26. oktober

Oppgave 1

a) Forplantning i z-retning betyr at E og B begge ligger i xy-planet. La oss for eksempel velge E langs x̂. Innkommende bølge:

E_{i} = x̂ E_{i0} cos(k_{1}z − ωt)
B_{i} = ŷB_{i0} cos(k_{1}z − ωt)

Reflektert bølge:

E_{r} = x̂ E_{r0} cos(−k_{1}z − ωt)
B_{r} = −ŷB_{r0} cos(−k_{1}z − ωt)

Transmittert bølge:

E_{t} = x̂ E_{t0} cos(k_{2}z − ωt)
B_{t} = ŷB_{t0} cos(k_{2}z − ωt)

Total bølge for z < 0:

E = E_{i} + E_{r}
B = B_{i} + B_{r}

Total bølge for z > 0:

E = E_{t}
B = B_{t}

Bølgetallene i de to mediene er k_{1} = ω/v_{1} = ωn_{1}/c og k_{2} = ω/v_{2} = ωn_{2}/c. Magnetfeltamplitudene kan vi uttrykke ved amplitudene til det elektriske feltet, dvs B_{i0} = E_{i0}/v_{1}, B_{r0} = E_{r0}/v_{1} og B_{t0} = E_{t0}/v_{2}. Retningen på magnetfeltet er fastlagt (ved k × E) når retningen på E er valgt. Legg merke til at vi her ikke har antatt noe bestemt med hensyn til fasen til E_{r} og E_{t} i forhold til E_{i}: Dersom E_{r0}/E_{i0} til slutt blir en positiv størrelse, betyr det at E_{r} er i fase med E_{i}, og dersom E_{r0}/E_{i0} til slutt blir en negativ størrelse, betyr det at E_{r} er i motfase med E_{i}. Og tilsvarende for E_{t}. Maxwells ligninger resulterte i kontinuitet av tangentialkomponenten av E og H i grenseflater mellom to medier. Vi antar lineær respons, slik at tangentialkomponenten av B/μ blir kontinuerlig i grenseflaten, dvs i z = 0. Her har feltene ingen komponent normalt på grenseflaten, slik at kontinuitet av tangentialkomponenten betyr rett og slett kontinuitet av E og B/μ. Dette gir følgende to ligninger:

E_{i0} + E_{r0} = E_{t0}
\frac{1}{μ_{1}} (\frac{E_{i0}}{v_{1}} − \frac{E_{r0}}{v_{1}} ) = \frac{1}{μ_{2}} \frac{E_{t0}}{v_{2}}

Her kan notasjonen forenkles noe ved å innføre β ≡ μ_{1}v_{1}/μ_{2}v_{2}. Den siste av disse to ligningene blir da

E_{i0} − E_{r0} = βE_{t0}

Løsning med hensyn på de to ukjente amplitudene E_{r0} og E_{t0} gir

E_{r0} = \frac{1 − β}{1 + β} E_{i0}
E_{t0} = \frac{2}{1 + β} E_{i0}

b) Midlere intensitet i en harmonisk elektromagnetisk bølge er

I = \frac{1}{2}εvE_{0}^{2}

der ε = ε_{0}ε_{r} er permittiviteten til mediet som bølgen forplanter seg i. Dette gir, for refleksjonskoeffisienten:

R = \frac{I_{r}}{I_{i}} = (\frac{E_{r0}}{E_{i0}} )^{2} = (\frac{1 − β}{1 + β} )^{2}

For medier som i praksis kan regnes som umagnetiske, dvs μ_{1} ≃ μ_{2} ≃ μ_{0}, har vi

β ≃ \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}

slik at

R = (\frac{1 − n_{2}/n_{1}}{1 + n_{2}/n_{1}} )^{2} = (\frac{n_{1} − n_{2}}{n_{1} + n_{2}} )^{2}

Transmisjonskoeffisienten blir

T = \frac{I_{t}}{I_{i}} = \frac{ε_{2}v_{2}E_{t0}^{2}}{ε_{1}v_{1}E_{i0}^{2}}

Med tilnærmelsen μ_{1} ≃ μ_{2} ≃ μ_{0} blir ε_{2}v_{2} ≃ n_{2}^{2}c/n_{2} = n_{2}c og tilsvarende ε_{1}v_{1} ≃ n_{1}c slik at

T = \frac{n_{2}}{n_{1}} \frac{4}{(1 + n_{2}/n_{1})^{2}} = \frac{4n_{1}n_{2}}{(n_{1} + n_{2})^{2}}

For grenseflaten mellom luft (≃ vakuum) og glass med ε_{r} = 2.25 har vi n_{1} = 1 og n_{2} = \sqrt{2.25} = 1.5, som gir

R = (\frac{0.5}{2.5})^{2} = 0.04

og dermed T = 1 − R = 0.96. Det virker rimelig: Nesten alt lys propagerer inn i (og gjennom) glass ved normalt innfall.

Oppgave 2

I denne oppgaven skal vi ikke regne ut hvor mye av intensiteten i innkommende bølge som blir reflektert og transmittert (refraktert), vi skal kun se på retningen til reflektert og transmittert bølge.

a) I grenseflaten er r = x x̂ + y ŷ. Generelt vil de tre bølgetallsvektorene k_{i}, k_{r} og k_{t} være forskjellige. Grensebetingelsene for E og B i grenseflaten z = 0 resulterer i en del ligninger på formen

A cos(k_{i} · r − ωt) + B cos(k_{r} · r − ωt) = C cos(k_{t} · r − ωt)

Anta at denne er oppfylt på et bestemt sted r_{1} = x_{1} x̂ + y_{1} ŷ, og la oss for eksempel velge tidspunktet t = 0. Da er altså

A cos k_{i} · r_{1} + B cos k_{r} · r_{1} = C cos k_{t} · r_{1}

Men denne ligningen må samtidig gjelde for alle mulige r_{j} i planet z = 0:

A cos k_{i} · r_{j} + B cos k_{r} · r_{j} = C cos k_{t} · r_{j}

for j = 1, 2, 3, . . .. Det er åpenbart at dette kun er mulig dersom alle tre cosinusfaktorene er like store, uavhengig av hvilken posisjon r vi velger. Følgelig må vi ha

k_{i} · r = k_{r} · r = k_{t} · r

for alle mulige posisjoner r = (x, y, 0) i grenseflaten.

La oss nå for eksempel velge en posisjon r = (x, 0, 0). Det gir

k_{ix}x = k_{rx}x = k_{tx}x

dvs

k_{ix} = k_{rx} = k_{tx}

Videre kan vi velge r = (0, y, 0), som gir

k_{iy}y = k_{ry}y = k_{ty}y

dvs

k_{iy} = k_{ry} = k_{ty}

Konklusjon: Forplantningsretningene til innkommende, reflektert og transmittert bølge ligger i ett og samme plan, innfallsplanet, som også inneholder grenseflatens flatenormal (her: ẑ). b) Uten tap av generalitet (som det så fint heter) kan vi velge akser slik at innkommende bølge har k_{iy} = 0. Dermed er også k_{ry} = k_{ty} = 0. I figuren i oppgaveteksten danner da papirplanet xz-planet, og vi ser uten videre at

k_{ix} = k_{i} sin θ_{i}
k_{rx} = k_{r} sin θ_{r}
k_{tx} = k_{t} sin θ_{t}

I oppgave a konkluderte vi med at disse tre må være like store. Vi har videre k_{i} = k_{r} = ω/v_{1} = ωn_{1}/c og k_{t} = ω/v_{2} = ωn_{2}/c. Det gir

θ_{i} = θ_{r},

refleksjonsloven, og

n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t},

brytningsloven (Snells lov).

Kommentar: Jeg kan i forelesningene ha kommet i skade for å hevde at grenseflatebetingelsene som E og B må oppfylle, blant annet gir Snells lov som resultat. Vi ser nå at dette strengt tatt ikke er helt riktig: Det eneste vi har brukt i denne oppgaven er formen på ligningene som følger fra disse grenseflatebetingelsene. Av den grunn må vi forvente at også andre typer harmoniske bølger (f.eks. overflatebølger eller lydbølger) vil oppføre seg på lignende vis når de støter på slike grenseflater mellom to ulike medier.

Men hvis vi er interessert i å finne ut hvordan innkommende intensitet fordeler seg på reflektert og transmittert bølge (dvs: bestemme refleksjons- og transmisjonskoeffisienter), slipper vi ikke utenom ”detaljene” i grenseflatebetingelsene.