Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høst 2006

Øving 9

Veiledning: Torsdag 26. oktober Innleveringsfrist: Mandag 30. oktober

Oppgave 1

a) Planet z = 0 danner grenseflaten mellom to lineære medier 1 (z < 0) og 2 (z > 0), med permittiviteter og permeabiliteter henholdsvis ε_{1}, μ_{1} og ε_{2}, μ_{2}. Anta at en plan harmonisk elektromagnetisk bølge kommer inn ”fra venstre”, dvs den forplanter seg i positiv z-retning. Amplituden til elektrisk felt i innkommende bølge er E_{i0}. Vis at bølgen som reflekteres i z = 0 har amplitude

E_{r0} = \frac{1 − β}{1 + β} E_{i0}

og at bølgen som transmitteres i z = 0 har amplitude

E_{t0} = \frac{2}{1 + β} E_{i0}

Her er

β ≡ \frac{μ_{1}v_{1}}{μ_{2}v_{2}}

med v_{j} = c/n_{j} = bølgens (fase-)hastighet i medium j. n_{j} er brytningsindeksen i medium j. (Dette tilsvarer figuren på neste side, med alle vinkler lik null.)

b) Innkommende bølge har intensitet I_{i}. Denne fordeler seg på den reflekterte (I_{r}) og den transmitterte (I_{t}) bølgen. Finn refleksjonskoeffisienten

R ≡ \frac{I_{r}}{I_{i}}

og transmisjonskoeffisienten

T ≡ \frac{I_{t}}{I_{i}}

uttrykt ved brytningsindeksene n_{1} og n_{2} i det vi antar at begge medier er ”umagnetiske”, dvs μ_{1} = μ_{2} = μ_{0}. Bestem tallverdier for R og T for grenseflaten mellom luft (≃ vakuum) og glass med relativ permittivitet 2.25.

Oppgave 2

Geometrisk optikks tre lover

Planet z = 0 danner grenseflaten mellom to lineære medier 1 (z < 0) og 2 (z > 0), med brytningsindekser henholdsvis n_{1} og n_{2}. Anta at en plan harmonisk elektromagnetisk bølge kommer inn ”fra venstre” slik at forplantningsretningen, gitt ved bølgetallsvektoren k_{i}, danner en vinkel θ_{i} med z-aksen. Innkommende bølge blir delvis reflektert, med bølgetallsvektor k_{r}, og delvis transmittert (evt refraktert), med bølgetallsvektor k_{t}, som vist i figuren.

Elektrisk feltvektor for de tre bølgene er

E_{i} = E_{i0} cos(k_{i} · r − ωt)
E_{r} = E_{r0} cos(k_{r} · r − ωt)
E_{t} = E_{t0} cos(k_{t} · r − ωt)

Bølgetallsvektoren k_{i} kan uttrykkes i kartesiske koordinater,

k_{i} = k_{ix}x̂ + k_{iy}ŷ + k_{iz}ẑ

og tilsvarende for k_{r} og k_{t}.

a) Bruk av grensebetingelsene for E og B i planet z = 0 (betingelser som skal gjelde overalt i dette planet, dvs for alle x og y og til alle tider t) vil resultere i ligninger på formen

A cos(k_{i} · r − ωt) + B cos(k_{r} · r − ωt) = C cos(k_{t} · r − ωt)

der koeffisientene A, B og C ikke avhenger av r og t. (Disse skal ikke bestemmes her.) Bruk dette til å argumentere for at

k_{i} · r = k_{r} · r = k_{t} · r

for alle mulige posisjoner r = (x, y, 0) i grenseflaten z = 0. Argumenter videre for at vi da må ha

k_{ix} = k_{rx} = k_{tx}

og

k_{iy} = k_{ry} = k_{ty}

Men da har vi 3 vektorer med 2 av komponentene identiske, hvilket må bety at de 3 vektorene alle ligger i ett og samme plan. Vi ser dessuten at dette planet står vinkelrett på grenseflaten, hvilket må bety at flatenormalen til grenseflaten også ligger i samme plan som de 3 bølgetallsvektorene. Dette er geometrisk optikks 1. lov: Bølgetallsvektorene til innkommende, reflektert og transmittert bølge danner et plan, det såkalte innfallsplanet, som også inkluderer flatenormalen til grenseflaten.

b) La oss nå velge x− og y-aksene slik at k_{i} ligger i xz-planet. Vis at da er k_{i} sin θ_{i} = k_{r} sin θ_{r} = k_{t} sin θ_{t}

og dermed

θ_{i} = θ_{r}

og

n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}

Dette er henholdsvis 2. lov (refleksjonsloven): Innfallsvinkelen og refleksjonsvinkelen er like store: θ_{i} = θ_{r}. Og 3. lov (brytningsloven, eller Snells lov):

\frac{sin θ_{t}}{sin θ_{i}} = \frac{n_{1}}{n_{2}}