TFY4160/FY1002 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2007. Veiledning: 29. og 30. august. Innleveringsfrist: Mandag 3. september kl 12:00.

Øving 1

Oppgave 1

En kloss med masse m er festet til en horisontalt liggende (masseløs) fjær med kraftkonstant k. Fjæren er festet til en fast vegg i sin venstre ende. Klossen kan gli friksjonsfritt på et horisontalt underlag. Bevegelsen blir startet (ved t = 0) med å flytte klossen fra likevektsposisjonen x = 0 mot høyre til forskyvningen x_{0} og gi den en hastighet v_{0} mot høyre. Klossen utfører så en harmonisk svingning gitt ved x(t) = A cos(ωt + ϕ) der ω = 2π/T er vinkelfrekvensen, T er svingningens periode, og ϕ er en fasekonstant.

a) Bestem vinkelfrekvensen ω, amplituden A, samt fasekonstanten ϕ.

b) Finn systemets totale energi E.

c) Vi kunne alternativt ha skrevet løsningen på formen x(t) = B cos ωt + C sin ωt. Hva blir da de to koeffisientene B og C?

d) Bestem tallverdier for svingebevegelsens maksimale utsving og maksimale hastighet dersom m = 250 g, k = 100 N/m, x_{0} = 1.0 cm og v_{0} = 20 cm/s.

Oppgave 2

En pendel består av ei kule med masse m opphengt, i tyngdefeltet, i ei masseløs snor med lengde l. Snora er festet i taket. Når vi trekker kula litt ut til siden og slipper den, vil den svinge fram og tilbake omkring likevektsstillingen, som selvsagt er når snora henger vertikalt. Tyngdens akselerasjon er g, og vi ser bort fra luftmotstand og eventuell friksjon i opphengningspunktet i taket.

a) Kulas posisjon kan i sin svingebevegelse angis ved vinkelen θ mellom snora og vertikalretningen, slik at θ = 0 tilsvarer likevekt. Bruk Newtons andre lov til å vise at bevegelsen er bestemt ved ligningen

\frac{d^{2}θ}{dt^{2}} + \frac{g}{l} sin θ = 0

b) Vi antar at kula svinger med liten amplitude, slik at vinkelen θ hele tiden er svært liten. Hva blir da svingebevegelsens periode T?

Oppgitt: sin θ ≃ θ når θ ≪ 1.

Oppgave 3

To like klosser, hver med masse m, er festet til masseløse fjærer, alle tre med samme fjærkonstant k.

I den øverste figuren er hele systemet i likevekt: Begge masser er i ro, alle fjærer har lengde a, og de er verken strukket eller sammenpresset. Nederst er det vist en generell tilstand, der x_{1} og x_{2} angir ”utsvingene” til henholdsvis masse 1 og 2.

a) Skriv ned bevegelsesligningene for de to klossene.

b) Anta at de to klossene utfører harmoniske svingninger med samme vinkelfrekvens ω og samme fasekonstant ϕ. Med andre ord, anta at

x_{1}(t) = A cos(ωt + ϕ)
x_{2}(t) = B cos(ωt + ϕ)

Sett disse antagelsene inn i bevegelsesligningene og vis at de to mulige vinkelfrekvensene som klossene kan svinge med er ω_{a} = \sqrt{k/m} og ω_{s} = \sqrt{3k/m}.

c) Bestem, for hver av vinkelfrekvensene ω_{a} og ω_{s}, sammenhengen mellom koeffisientene A og B. Tegn øyeblikksbilder av systemet når det svinger i hver av disse såkalte ”normale modene” a (for antisymmetrisk) og s (for symmetrisk). Prøv om du kan se direkte fra disse bildene hva de tilhørende ω må være og sammenlign med det du fant i punkt b).

Fasitsvar:

Oppgave 1:

d) \sqrt{2} cm ≃ 1.4 cm, \sqrt{2}v_{0} ≃ 28 cm/s.