TFY4160/FY1002 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2007.

Løsningsforslag til øving 12

Oppgave 1 Gitterkonstanten:

d = \frac{0.050}{2500} m = 2 · 10^{−5} m

Hovedmaksima når

d sin θ_{n} = nλ

som gir

λ = d sin θ_{1} = 2 · 10^{−5} · \frac{6.2}{\sqrt{250^{2} + 6.2^{2}}} = 496 nm

Oppgave 2 a)

b) Intensitetsfordelingen I har N − 1 nullpunkter mellom to hovedmaksima. Det første nullpunktet har vi når argumentet til sinusfunksjonen i telleren er lik π:

\frac{Nϕ}{2} = π ⇒ ϕ = \frac{2π}{N}

Har selvsagt også nullpunkt for ϕ = −2π/N. Halvverdibredden må bli omtrent lik halvparten av intervallet mellom disse to nullpunktene, dvs

Δϕ ≃ \frac{2π}{N}

c) Vi har

Δϕ = \frac{dϕ}{dθ_{n}} Δθ_{n}

der

\frac{dϕ}{dθ_{n}} = \frac{2πd}{λ} cos θ_{n}
= \frac{2πd}{λ}\sqrt{1 − sin^{2} θ_{n}}
= \frac{2πd}{λ}\sqrt{1 − (nλ/d)^{2}}
= 2π\sqrt{(d/λ)^{2} − n^{2}}

Altså:

Δθ_{n} = \frac{Δϕ}{2π\sqrt{(d/λ)^{2} − n^{2}}} = \frac{1}{N\sqrt{(d/λ)^{2} − n^{2}}}

d) Vi har

sin θ ≃ \frac{y}{L}

der y er avstanden på skjermen fra ”senterlinjen” svarende til vinkelen θ, og L er avstanden fra diffraksjonsgitteret til skjermen, dvs 250 cm. På samme vis som i punkt c:

Δy = \frac{dy}{dθ} Δθ

der

\frac{dy}{dθ} = L cos θ

Dermed:

Δy_{0} = L cos 0 · Δθ_{0} = 250 cm · 1 · \frac{1}{2500 · \sqrt{40.3^{2}}} ≃ 25 μm

Dette er halvverdibredden, slik at bredden på hele linjen blir ca 50 μm.

e) Bruker rett og slett kriteriet for hovedmaksimum:

θ_{n} = arcsin(nλ/d)

Innsetting gir

θ_{0}^{R} = θ_{0}^{B} = arcsin 0 = 0
θ_{1}^{R} = arcsin \frac{726 · 10^{−9}}{2 · 10^{−5}} = 2.08^{∘}
θ_{1}^{B} = arcsin \frac{496 · 10^{−9}}{2 · 10^{−5}} = 1.42^{∘}
θ_{2}^{R} = arcsin \frac{1452 · 10^{−9}}{2 · 10^{−5}} = 4.16^{∘}
θ_{2}^{B} = arcsin \frac{992 · 10^{−9}}{2 · 10^{−5}} = 2.84^{∘}

Posisjonene på skjermen får vi deretter fra y = L tan θ. (Her spiller det liten rolle om vi bruker tan θ, sin θ eller rett og slett θ, sistnevnte tilfelle i radianer.) Utregning gir

y_{0}^{R} = y_{0}^{B} = 0
y_{1}^{B} = 6.2
y_{1}^{R} = 9.1
y_{2}^{B} = 12.4
y_{2}^{R} = 18.2

alt i enheten cm.

Oppgave 3

Lysets bølgelengde endres fra λ i luft til λ/n ≃ 3λ/4 i vann. Dermed blir avstanden mellom intensitetsmaksima på observasjonsskjermen mindre. Eksempelvis vil avbøyningsvinkelen som svarer til 1. ordens maksimum endres fra arcsin(λ/d) i luft til arcsin(3λ/4d) i vann. Her er d avstanden mellom de to spaltene.

Oppgave 4

Uten plastfolie foran den ene spalten ville vi ha fått et intensitetsmaksimum på senterlinjen. (Null faseforskjell mellom delbølgene fra de to spaltene.) Ved å dekke den ene spalten med plast, har vi oppnådd en faseforskjell lik π mellom de to delbølgene, ettersom vi nå har null intensitet på senterlinjen. Dermed, med k_{1} = bølgetall for lyset i plasten og k_{0} = bølgetall for lyset i luft (og tilsvarende indekser for bølgelengder og brytningsindeks):

k_{1} · t − k_{0} · t = π

Vi bruker at k = 2π/λ og at λ_{1} = λ_{0}/n_{1} og finner

t = \frac{λ_{0}}{2(n_{1} − 1)} = \frac{630}{2 · 0.8} nm ≃ 394 nm

Men vent litt! Vi vet vel egentlig ikke annet enn at faseforskjellen mellom de to delbølgene må være et odde antall ganger π, dvs (2m + 1)π, der m er lik null eller et helt tall. Vi har dermed flere muligheter: t = (2m + 1) · 394 nm.

Oppgave 5

Oppløsningsevnen vil være bestemt av forholdet λ/D. Dette er uansett ingen skarpt definert grense, så det er ikke mye vits i å bruke arcsin(1.22λ/D). Vi finner:

a) For øyet mhp synlig lys: Anta f.eks. D = 5 mm og λ = 500 nm. Det gir at vinkelavstanden mellom de to objektene må være minst 0.0001 radianer eller ca 0.006 grader. (I praksis vil nok ofte atmosfæriske forstyrrelser føre til en betydelig større verdi.)

b) For optisk teleskop med diameter 8.3 m: 5·10^{−7}/8.3 ≃ 6·10^{−8} radianer eller ca 3 mikrograder.

c) For et radioteleskop med diameter 305 m og radiobølger med bølgelengde 21 cm: 0.21/305 ≃ 7 · 10^{−4} radianer eller ca 0.04 grader.

En innser raskt fordelen ved å observere i den kortbølgede delen av spektret. Problemet med å gå til enda kortere bølgelengder er at denne strålingen i stor grad absorberes i atmosfæren. Alternativet da er å sette teleskopet på en satelitt og plassere den utenfor jordas atmosfære.

Oppgave 6

Intensitetsfordelingen ved diffraksjon fra en enkelt spalte med bredde a er gitt ved

I = Î(\frac{sin β}{β} )^{2}

der β = πa sin θ/λ. Dersom vi dobler spaltebredden, vil β bli dobbelt så stor for en gitt avbøyningsvinkel θ. Første nullpunkt kommer ved halvparten så stor avbøyningsvinkel, så vinkelspredningen blir med andre ord halvert. Under utledning av denne intensitetsfordelingen antok vi at spalten med endelig bredde a kunne deles opp i et stort antall tynne spalter med veldig liten bredde a/N (slik at hver tynne spalte kunne betraktes som en ideell ”Huygens-kilde” for sylinderbølger). Med I_{0} lik intensiteten fra en slik tynn spalte fant vi videre at Î = I_{0} · N^{2} = maksimal intensitet, rett framover, ved θ = 0. En dobling av spaltebredden må gi dobbelt så mange slike ideelle ”Huygens-kilder”, og dermed 4 ganger så stor Î. Men ettersom bredden på intensitetsfordelingen samtidig blir halvert, blir total energi som treffer skjermen bare 2 ganger større. Og det passer jo bra, ettersom dobling av spaltebredden må resultere i at vi slipper dobbelt så mye energi gjennom.