TFY4160/FY1002 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2007.

Løsningsforslag til øving 2

a) Kirchhoffs spenningsregel sier at summen av alle potensialendringer rundt en lukket krets skal være lik null. Det er ikke annet enn kravet om energibevarelse, eller mer presist, at en elektrisk ladning skal ha en entydig potensiell energi i en hvilken som helst posisjon i kretsen. Vi har oppgitt at spenningsfallet over motstanden er RI, over kondensatoren Q/C og over induktansen Lİ. Dermed:

V_{0} cos ωt − Lİ = RI + \frac{Q}{C},

og ettersom I = Q̇ har vi

LQ̈ + RQ̇ + \frac{1}{C} Q = V_{0} cos ωt.

(Minustegn foran Lİ fordi det induseres en motspenning i induktansen, dvs den prøver å motvirke endringer i strømstyrken I.) Ved direkte sammenligning mellom ligningene for x og Q ser vi at

• resistansen R er analog til dempingskonstanten b

• invers kapasitans 1/C er analog til fjærkonstanten k

• spenningsamplituden V_{0} er analog til kraftamplituden F_{0}

• ladningen Q er analog til utsvinget x

• strømmen I er analog til hastigheten ẋ

Disse analogiene mellom mekaniske og elektriske svingesystemer kan utnyttes i praksis. For det første kan man modellere et potensielt stort og utilgjengelig mekanisk system med en liten og grei elektrisk krets på laben. For det andre kan elektriske kretser oversettes til mekaniske svingesystemer, noe som kan gi en lettere intuitiv forståelse for hvordan systemet vil oppføre seg.

b) I forelesningene fant vi at relativt energitap pr periode for underdempede svingninger er

\frac{ΔE}{E} = 1 − e^{−4πδ/ω}

der δ = b/2m, ω^{2} = ω_{0}^{2} − δ^{2} og ω_{0}^{2} = k/m. Vi setter dette uttrykket lik maksimalt energitap pr periode α og får

1 − e^{−2πb_{max}/m\sqrt{k/m−b_{max}^{2}/4m^{2}}} = α.

Denne ligningen må løses mhp b_{max}, noe som bare er snakk om litt algebra: Samle 1 − α på en side, ta ln på begge sider og kvadrer begge sider:

\frac{4π^{2}b_{max}^{2}}{km − b_{max}^{2}/4} = [ln(1 − α)]^{2}

Dermed:

b_{max}^{2} (4π^{2} + [ln(1 − α)]^{2} /4) = km [ln(1 − α)]^{2}

og

b_{max}^{2} = \frac{4km [ln(1 − α)]^{2}}{16π^{2} + [ln(1 − α)]^{2}}

Divisjon med [ln(1 − α)]^{2} over og under brøkstreken gir endelig

b_{max} = \begin{matrix}√ & \overline{4km} \\ √ & \overline{1 + [4π/ ln (1 − α)]^{2}} \end{matrix}

som skulle vises. Dersom dempingen skal være veldig svak, dvs α ≪ 1, kan vi bestemme b_{max} direkte ved å sette

\frac{ΔE}{E} ≃ \frac{4πδ}{ω_{0}} = \frac{2πb}{mω_{0}} = \frac{2πb}{\sqrt{km}}

Dermed blir

b_{max} = α \frac{\sqrt{km}}{2π}

Alternativt kan en ta utgangspunkt i det eksakte uttrykket for b_{max}, tilnærme logaritmeleddet med ln(1 − α) ≃ −α og få nøyaktig samme svar for b_{max}.

c) Utregning av G(ω) og ϕ_{0}: Med Q(t) = Q_{0} sin(ωt + ϕ_{0}) har vi

Q̇ = ωQ_{0} cos(ωt + ϕ_{0})

og

Q̈ = −ω^{2}Q_{0} sin(ωt + ϕ_{0})

som innsatt i ligningen for Q gir

−Lω^{2}Q_{0} sin(ωt + ϕ_{0}) + RωQ_{0} cos(ωt + ϕ_{0}) + \frac{1}{C} Q_{0} sin(ωt + ϕ_{0}) = V_{0} cos ωt

For å komme videre her, må vi bruke at sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b og cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b. Da har vi

−Lω^{2}Q_{0} sin ϕ_{0} cos ωt − Lω^{2}Q_{0} cos ϕ_{0} sin ωt + RωQ_{0} cos ϕ_{0} cos ωt − RωQ_{0} sin ϕ_{0} sin ωt +
\frac{1}{C} Q_{0} sin ϕ_{0} cos ωt + \frac{1}{C} Q_{0} cos ϕ_{0} sin ωt − V_{0} cos ωt = 0

Dersom denne ligningen skal være oppfylt til alle tider, dvs for vilkårlig verdi av t, må leddene som inneholder sin ωt og de som inneholder cos ωt summere seg til null hver for seg. Følgelig:

−Lω^{2}Q_{0} cos ϕ_{0} − RωQ_{0} sin ϕ_{0} + \frac{1}{C} Q_{0} cos ϕ_{0} = 0
−Lω^{2}Q_{0} sin ϕ_{0} + RωQ_{0} cos ϕ_{0} + \frac{1}{C} Q_{0} sin ϕ_{0} − V_{0} = 0

Ettersom Q_{0} ikke er lik null, gir den første av disse ligningene

R sin ϕ_{0} = (\frac{1}{ωC} − ωL) cos ϕ_{0}
R^{2} (1 − cos^{2} ϕ_{0}) = (\frac{1}{ωC} − ωL)^{2} cos^{2} ϕ_{0}
R^{2} = [R^{2} + (\frac{1}{ωC} − ωL)^{2}] cos^{2} ϕ_{0}
cos ϕ_{0} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2}}} = \frac{R}{G}

mens fra den andre har vi

Q_{0} = \frac{V_{0}/ω}{R cos ϕ_{0} + (1/ωC − ωL) sin ϕ_{0}}

Da er vi nesten i mål ettersom vi kjenner cos ϕ_{0}, og dermed sin ϕ_{0}. Vi setter inn cos ϕ_{0} = R/G, sin ϕ_{0} = \sqrt{1 − R^{2}/G^{2}} og 1/ωC − ωL = \sqrt{G^{2} − R^{2}}:

Q_{0} = \frac{V_{0}/ω}{R^{2}/G + \sqrt{G^{2} − R^{2}}\sqrt{1 − R^{2}/G^{2}}} = \frac{V_{0}}{ωG}

Nå kan en kanskje lure på om alle fortegn ble riktige i de ulike overgangene ovenfor, siden vi har kvadrert og tatt kvadratrot både her og der. Og en smule skepsis er faktisk på sin plass, i hvert fall når det gjelder fasevinkelen ϕ_{0}. Resultatet cos ϕ_{0} = R/G betyr at ϕ_{0} må ligge i 1. eller 4. kvadrant, dvs i intervallet (−π/2, π/2), ettersom både R og G er positive størrelser. Men vi har mistet fortegnet på ϕ_{0} underveis, siden cos ϕ_{0} = cos(−ϕ_{0}). Det hadde vært bedre å uttrykke fasevinkelen ved hjelp av tangens-funksjonen. Fra ligningen

R sin ϕ_{0} = (\frac{1}{ωC} − ωL) cos ϕ_{0}

har vi

tan ϕ_{0} = \frac{sin ϕ_{0}}{cos ϕ_{0}} = \frac{1/ωC − ωL}{R}

og vi ser at ϕ_{0} kan bli positiv eller negativ, avhengig av om telleren er positiv eller negativ. Du ser at selv for et enkelt system som dette, ender vi opp med tildels grisete regning, og en kan jo spørre seg om det ikke er en enklere vei til målet. Svaret på det er ja, under forutsetning av at man er villig til å ta i bruk komplekse størrelser. Bakerst i løsningsforslaget har jeg tatt med litt om dette.

Vi har størst mulig ladningsamplitude Q_{0} når nevneren ωG(ω) er minst mulig. Ettersom både ω og G(ω) er positive størrelser, kan vi like gjerne finne den frekvensen som gjør ω^{2}G^{2}(ω) minimal, noe som er hensiktsmessig her. Vi regner ut:

ω^{2}G^{2}(ω) = ω^{2} (R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2}) = L^{2}ω^{4} + (R^{2} − 2L/C) ω^{2} + 1/C^{2}

Denne funksjonen kan vi nå derivere mhp ω og sette lik null for å finne minimum. Eller vi kan innføre z = ω^{2} og derivere mhp z:

\frac{d}{dz} (L^{2}z^{2} + (R^{2} − 2L/C) z + 1/C^{2}) = 2L^{2}z + R^{2} − 2L/C = 0

som gir

ω_{1} = \sqrt{\frac{1}{LC} − \frac{R^{2}}{2L^{2}}}

Med oppgitte tallverdier:

ω_{1} = \sqrt{10^{12} − \frac{1}{2} · 10^{12}} ≃ 0.7 · 10^{6} Hz

Strømmen er

I(t) = \frac{dQ}{dt} = ωQ_{0} cos(ωt + ϕ_{0})

som betyr at strømamplituden er

I_{0} = ωQ_{0} = \frac{V_{0}}{G(ω)}

Følgelig har vi maksimal I_{0} for minimal G(ω), noe som åpenbart inntreffer når

ωL − 1/ωC = 0

dvs

ω_{2} = ω_{0} = \sqrt{\frac{1}{LC}}

Med oppgitte tallverdier:

ω_{2} = 10^{6} Hz

Tilhørende fasekonstanter:

ϕ_{01} = arccos \frac{R}{G(ω_{1})} = arccos \sqrt{\frac{2}{3}} ≃ 35^{∘}

ϕ_{02} = arccos \frac{R}{G(ω_{2})} = arccos 1 = 0

Det kan være en ide å tegne opp amplitudene Q_{0} og I_{0} som funksjon av vinkelfrekvensen til spenningskilden, med gjeldende verdier for R, L og C:

Vi ser at det her er snakk om forholdsvis brede resonanskurver. Godhetsfaktoren er

Q = \frac{Lω_{0}}{R} = 1

der vi har brukt definisjonen for det mekaniske svingesystemet, Q = mω_{0}/b, samt analogiene m ↔ L og b ↔ R. En Q-verdi på 1 innebærer at bredden på resonanskurven er av samme størrelsesorden som resonansfrekvensen selv.

Kommentarer:

1. Litt om generalisert motstand, eller impedans. (Vi innførte impedansbegrepet i FY1003/TFY4155, og det blir mer om dette i fag som FY1013 Elmag II og TFY4185 Måleteknikk.)

Hvis vi har en likestrømkrets, dvs med en konstant spenningskilde V_{0}, og finner at spenningskilden leverer en strøm I_{0} til kretsen, kan vi bestemme kretsens (totale) elektriske motstand fra Ohms lov:

R = \frac{V_{0}}{I_{0}}

Hvis vi har en vekselstrømkrets, med en spenningskilde V_{0} cos ωt, og finner at spenningskilden leverer en strøm I_{0} cos(ωt + ϕ_{0}) til kretsen, defineres kretsens generaliserte motstand, eller impedans Z på tilsvarende vis:

Z = \frac{V_{0}}{I_{0}}

For RCL-kretsen i denne øvingen finner vi at

Z = G(ω) = \sqrt{R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2}}

Med andre ord, impedansen Z avhenger av (vinkel-)frekvensen ω til den påtrykte spenningen. Impedansen er minimal dersom ω = ω_{0} = 1/\sqrt{LC}, kretsens resonansfrekvens. Da er strømstyrken maksimal, og strømmen I(t) svinger i fase med den påtrykte spenningen. (Vi fant jo ϕ_{02} = 0 ovenfor.)

Det er ingenting i veien for å benytte impedansbegrepet også i det mekaniske systemet, og mekanisk impedans defineres på tilsvarende vis, som forholdet mellom påtrykt kraft og resulterende hastighet:

Z = \frac{F_{0}}{v_{0}}

Benytter vi analogien mellom størrelsene i det mekaniske og det elektriske svingesystemet, kan vi uten videre skrive ned uttrykket for den mekaniske impedansen til systemet i oppgavens figur A:

Z = \sqrt{b^{2} + (ωm − k/ω)^{2}}

2. Tvungen svingning: løsning ved hjelp av kompleks regning.

Et åpenbart irritasjonsmoment i løsningen av oppgave c ovenfor var det faktum at vi fikk inn både sinuser og cosinuser, og derfor måtte styre en del med trigonometriske relasjoner. Og vi innser fort at dette er uunngåelig dersom vi starter med å skrive løsningen for Q (eventuelt x) som en cosinus eller en sinus: Derivasjon en gang gjør sinus om til cosinus, og omvendt, og hvis vi har demping, har vi jo nettopp et ledd som er proporsjonalt med den deriverte av Q (eventuelt x).

Løsningen på dette problemet har vi vært innom allerede, i og med at vi utledet løsningen av fri, dempede svingninger ved å starte med en eksponentialfunksjon. La oss forsøke det samme her: Vi setter

V (t) = V_{0}e^{iωt}

i det vi husker på at den fysiske påtrykte spenningen egentlig er

V_{0} cos ωt = Re (V_{0}e^{iωt})

Vi kompliserer altså problemet ved å innføre en kompleks representasjon av den reelle størrelsen V (t), men samtidig forenkler vi problemet rent regneteknisk, i og med at eksponentialfunksjonen har seg selv som løsning, uansett hvor mange ganger vi deriverer den (eller integrerer den, for den saks skyld). Det er vel nå temmelig opplagt at en partikulærløsning av differensialligningen for Q må være på formen

Q(t) = Q_{0}e^{iωt}

(og vi glemmer ikke at den fysiske ladningen får vi ved å ta realdelen av dette.) Innsetting gir

(−ω^{2}L + iωR + \frac{1}{C} ) Q_{0}e^{iωt} = V_{0}e^{iωt}

siden vi får ned en faktor iω for hver gang vi deriverer Q(t) mhp t. Dermed får vi

Q_{0} = \frac{V_{0}}{−ω^{2}L + iωR + 1/C} = \frac{V_{0}}{iω (R + iωL + 1/iωC)}

Strømmen blir

I(t) = \frac{dQ}{dt} = Q_{0}iωe^{iωt} = \frac{V_{0}}{R + iωL + 1/iωC} e^{iωt}

dvs med amplitude

I_{0} = \frac{V_{0}}{R + iωL + 1/iωC}

Dette komplekse tallet kan skrives som

I_{0} = \frac{V_{0}}{\sqrt{R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2}}} e^{−iβ}

der

tan β = \frac{ωL − 1/ωC}{R}

(Vi ser at β = −ϕ_{0}.) Den fysiske, reelle strømstyrken blir realdelen av den beregnede komplekse I(t):

I_{fysisk}(t) = \frac{V_{0}}{\sqrt{R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2}}} cos(ωt − β)

Impedansen Z kan nå oppfattes som en kompleks størrelse,

Z ≡ \frac{V}{I} = \frac{V_{0}}{I_{0}} = \frac{V_{0}}{|I_{0}|} e^{iβ}

med absoluttverdi |Z| = V_{0}/|I_{0}| og fasevinkel β. Tilbake til ladningen på kondensatoren: Det komplekse uttrykket for amplituden Q_{0} kan skrives slik:

Q_{0} = \frac{V_{0}}{ω\sqrt{R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2}}} e^{−iπ/2−iβ}

Den fysiske ladningen er realdelen av Q(t):

Q_{fysisk}(t) = \frac{V_{0}}{ω\sqrt{R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2}}} cos(ωt − π/2 − β)

som er det samme som vi fant med reell regning, siden

cos(ωt − π/2 − β) = sin(ωt − β) = sin(ωt + ϕ_{0})

Illustrasjon av impedansen i det komplekse planet: