TFY4160/FY1002 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2007. Veiledning: 5. og 6. september. Innleveringsfrist: Mandag 10. september kl 12:00.

Øving 2

a) I forelesningene har vi sett at det mekaniske svingesystemet i figur A ovenfor, med F (t) = F_{0} cos ωt, oppfyller bevegelsesligningen

mẍ + bẋ + kx = F_{0} cos ωt,

der x representerer massens utsving i forhold til likevektsposisjonen x = 0. Vis, ved hjelp av Kirchhoffs spenningsregel, at den elektriske svingekretsen i figur B, med V (t) = V_{0} cos ωt, oppfyller en tilsvarende differensialligning,

LQ̈ + RQ̇ + \frac{1}{C} Q = V_{0} cos ωt,

der Q representerer ladningen på kondensatoren. Ved direkte sammenligning ser en at selvinduktansen L i det elektriske svingesystemet er analog til massen m i det mekaniske svingesystemet. (Ikke urimelig: m representerer treghet i det mekaniske systemet, dvs en motstand mot endringer i hastigheten; L representerer treghet i det elektriske systemet, dvs en motstand mot endringer i strømstyrken.) Hva er den elektriske svingekretsens analogier til størrelsene b, k, F_{0}, x og ẋ i det mekaniske systemet?

b) Vi betrakter nå fri (F = 0), (under-)dempede (b/2m ≡ δ < ω_{0} ≡ \sqrt{k/m}) svingninger i det mekaniske systemet i figur A. Dersom vi ønsker at relativt energitap pr periode, ΔE/E, ikke skal overstige en bestemt verdi α, må dempingen ikke være større enn

b_{max} = \begin{matrix}√ & \overline{4km} \\ √ & \overline{1 + [4π/ ln (1 − α)]^{2}} \end{matrix}

Vis dette. Vis deretter at vi tilnærmet kan skrive

b_{max} = α \frac{\sqrt{km}}{2π}

dersom α ≪ 1.

c) La oss deretter betrakte den elektriske svingekretsen med spenningskilden V (t) = V_{0} cos ωt. Siden systemet er helt analogt det mekaniske, må ladningen på kondensatoren bli

Q(t) = Q_{0} sin(ωt + ϕ_{0}),

i det vi antar at spenningskilden har stått på så lenge at en eventuell homogen løsning Q_{h}(t) av den tilsvarende homogene ligningen kan neglisjeres. Amplituden til ladningen på kondensatoren er nå gitt ved

Q_{0} = \frac{V_{0}}{ωG(ω)},

mens fasekonstanten er gitt ved

cos ϕ_{0} = \frac{R}{G(ω)}.

Her er

G(ω) = \sqrt{R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2}}.

Sett inn den oppgitte løsningen Q(t) i differensialligningen og vis at Q_{0} og ϕ_{0} blir som angitt. Bestem den vinkelfrekvensen ω = ω_{1} til spenningskilden som gir størst mulig ladningsamplitude Q_{0}. Bestem også den vinkelfrekvensen ω = ω_{2} som gir størst mulig strømamplitude. Bestem tallsvar for ω_{1} og ω_{2} når kretsen har følgende komponenter: R = 100 Ω, L = 0.1 mH, C = 10 nF. Finn til slutt (tall-)verdien til de tilhørende fasekonstantene ϕ_{01} og ϕ_{02}.

Oppgitt: Spenningsfall over motstand: RI; over kondensator: Q/C; over induktans: Lİ.

Fasitsvar:

c: ω_{1} = 0.7 MHz, ω_{2} = 1.0 MHz, ϕ_{01} = 35^{∘}, ϕ_{02} = 0.