TFY4160/FY1002 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2007.

Løsningsforslag til øving 8

Oppgave 1

a) Vi kan neglisjere k^{4}-leddet dersom

\frac{S}{μ} ≫ \frac{Y A^{2}}{4πμ} k^{2}

dvs

\frac{4π^{2}}{k^{2}} ≫ \frac{πY A^{2}}{S}

dvs

λ ≫ A\sqrt{\frac{πY}{S}}

Innsetting av oppgitte tallverdier gir betingelsen λ ≫ 3.9 cm. For grunntonen, med bølgelengden lik to ganger strengens lengde, vil dette typisk være godt oppfylt på de fleste instrumenter. For høyere harmoniske vil k^{4}-leddet etter hvert gjøre seg mer gjeldende.

b) La oss starte med å regne ut v og v_{g} som funksjoner av bølgetallet k:

v = \frac{ω}{k} = \sqrt{β + αk^{2}}

v_{g} = \frac{dω}{dk} = \frac{d(vk)}{dk} = v + k \frac{dv}{dk}
= \sqrt{β + αk^{2}} + k \frac{αk}{\sqrt{β + αk^{2}}}
= \frac{β + 2αk^{2}}{\sqrt{β + αk^{2}}}
= v \frac{β + 2αk^{2}}{β + αk^{2}}

Her har vi innført β = S/μ og α = Y A^{2}/4πμ, og vi har skrevet v_{g} på et par forskjellige måter. For å finne v og v_{g} som funksjoner av frekvensen ν, må vi uttrykke k^{2} ved ν. Vi må løse ligningen

αk^{4} + βk^{2} − 4π^{2}ν^{2} = 0

med hensyn på k^{2}. Det gir

k^{2} = \frac{β}{2α} (\sqrt{1 + \frac{16π^{2}α}{β^{2}}ν^{2}} − 1)

og dermed

v = \sqrt{\frac{β}{2} (\sqrt{1 + \frac{16π^{2}α}{β^{2}}ν^{2}} + 1)}

v_{g} = 2v \frac{\sqrt{1 + \frac{16π^{2}α}{β^{2}}ν^{2}}}{\sqrt{1 + \frac{16π^{2}α}{β^{2}}ν^{2}} + 1}

Vi ser uten videre at i grensen ν → 0 får vi

v = \sqrt{\frac{β}{2} · 2} = \sqrt{β} = \sqrt{S/μ}

og

v_{g} = v = \sqrt{S/μ}

som ventet. For riktig høye frekvenser vil leddet som inneholder ν^{2} dominere i forhold til 1, og vi får

v = \sqrt{\frac{β}{2} · \frac{4π\sqrt{α}ν}{β}} = \sqrt{2π\sqrt{α}ν}

og

v_{g} = 2v = \sqrt{8π\sqrt{α}ν}

Innsetting av tallverdier gir α = 3.0625, β = 78411.5 og 16π^{2}α/β^{2} = 7.866 · 10^{−8}, sistnevnte da med enheten s^{2}, ettersom den multiplisert med ν^{2} gir en dimensjonsløs størrelse. Dermed:

v = 198 (\sqrt{1 + 7.866 · 10^{−8}ν^{2}} + 1)^{1/2}

dvs i enheten m/s når verdier for frekvensen ν settes inn med enhet Hz. Tilsvarende, for gruppehastigheten:

v_{g} = 396\begin{matrix}√ & \overline{1 + 7.866 · 10^{−8}ν^{2}} \\ (\sqrt{1 + 7.866 · 10^{−8}ν^{2}} + 1) & 1/2 \end{matrix}

Innsetting av ν = 0, 1, 2, 3 og 4 kHz gir verdiene 280, 283, 290, 301 og 313 for fasehastigheten v, og verdiene 280, 288, 310, 341 og 376 for gruppehastigheten v_{g}. Det skulle være tilstrekkelig for å skissere funksjonene v(ν) og v_{g}(ν).

Oppgave 2 Fasehastigheten:

v = ω/k = \sqrt{\frac{g}{k} + \frac{γk}{ρ}} = \sqrt{\frac{gλ}{2π} + \frac{2πγ}{ρλ}}

Gruppehastigheten:

v_{g} = dω/dk = \frac{g + 3γk^{2}/ρ}{2\sqrt{gk + γk^{3}/ρ}} = \frac{gλ^{2} + 12π^{2}γ/ρ}{\sqrt{8πgλ^{3} + 32π^{3}γλ/ρ}}

Korte bølgelengder:

v ≃ \sqrt{2πγ/ρλ}

v_{g} ≃ \sqrt{\frac{144π^{4}γ^{2}/ρ}{32π^{3}γλ/ρ}} = \sqrt{9πγ/2ρλ} = \frac{3}{2}v

Lange bølgelengder:

v ≃ \sqrt{gλ/2π}

v_{g} ≃ \sqrt{g^{2}λ/8πg} = \sqrt{gλ/8π} = \frac{1}{2}v

Innsetting av tallverdier gir:

v = \sqrt{1.560λ + 4.587 · 10^{−4}/λ}

v_{g} = \frac{9.8λ^{2} + 8.646 · 10^{−3}}{\sqrt{246.3λ^{3} + 0.07243λ}}

Disse uttrykkene gir v og v_{g} i enheten m/s med λ i enheten m.

Vi ser av uttrykkene at gruppehastigheten går mot uendelig dersom vi lar λ → 0 eller λ → ∞. Men det er ingen fare, for eksempel med tanke på å holde seg under lyshastigheten i vakuum, c = 3·10^{8} m/s. La oss vise dette, ved å sette v_{g} = c i de to aktuelle grensene. Korte bølgelengder:

c = \sqrt{9πγ/2ρλ} ⇒ λ = 9πγ/2ρc^{2} ∼ 10^{−20} m

som er langt under kontinuumsgrensen. Lange bølgelengder:

c = \sqrt{gλ/8π} ⇒ λ = 8πc^{2}/g ∼ 10^{17} m

og det er ikke mange sjøer der slike bølgelengder er aktuelle.

Oppgave 3

a) Vi innfører x = kd. Fasehastigheten er:

v = ω/k = \sqrt{\frac{g}{k} tanh kd} = \sqrt{gd}\sqrt{\frac{tanh x}{x}}

Gruppehastigheten:

v_{g} = dω/dk = \frac{1}{2ω} \frac{dω^{2}}{dk} = \frac{g tanh kd + gkd/ cosh^{2} kd}{2\sqrt{gk tanh kd}}

Her er det flere måter å skrive v_{g} på, for eksempel

v_{g} = \frac{\sqrt{gd}}{2} (\sqrt{\frac{sinh x}{x cosh x}} + \sqrt{\frac{x}{sinh x cosh^{3} x}})

Fra figuren ser vi at forskjellen mellom v og v_{g} er mindre enn 5 % så lenge kd er mindre enn 1/3, sånn omtrent. Med andre ord,

d < λ/6π ∼ λ/20

synes som en fornuftig grense for å snakke om grunt vann.

b) På dypt vann blir dispersjonsrelasjonen for tyngdebølger

ω = \sqrt{gk}

ettersom tanh kd ≃ 1 når kd ≫ 1. Når tyngdekrefter dominerer, blir dispersjonsrelasjonen for overflatebølger på dypt vann

ω = \sqrt{gk}

dvs den samme.