TFY4160/FY1002 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2007. Veiledning: 17. og 18. oktober. Innleveringsfrist: Mandag 22. oktober kl 12:00.

Øving 8

Oppgave 1

I virkeligheten er transversale bølger på en streng ikke fullstendig dispersjonsfrie. Anta at vi har en uniform metallstreng med sirkulært tverrsnitt A, massetetthet ρ og elastisk modul (Youngs modul) Y. Dispersjonsrelasjonen er da bestemt ved

ω^{2} = \frac{S}{μ} k^{2} + \frac{Y A^{2}}{4πμ} k^{4}

der S er strekket i strengen og μ = ρA er strengens masse pr lengdeenhet.

a) Vis at avviket fra lineær dispersjon kan neglisjeres dersom bølgelengden oppfyller

λ ≫ A\sqrt{\frac{πY}{S}}

Hva innebærer dette for en pianostreng av stål med diameter 1.4 mm som er strukket med en kraft 941.5 N? Youngs modul for stål er 1.95·10^{11} N/m^{2}, og massetettheten er ρ = 7800 kg/m^{3}.

b) Finn uttrykk for frekvensavhengigheten til de transversale bølgenes fasehastighet og gruppehastighet, dvs v(ν) og v_{g}(ν). Hva blir v og v_{g} i grensen ν → 0? Hva blir v og v_{g} for riktig høye frekvenser? Sett inn tallverdier for pianostrengen i a) og skisser v(ν) og v_{g}(ν) for frekvenser mellom 0 og 4 kHz.

Oppgave 2

Overflatebølger på dypt vann (dvs i grenseflaten mellom vann og luft) kan med god tilnærmelse beskrives av dispersjonsrelasjonen

ω = \sqrt{gk + γk^{3}/ρ}

Her er g = 9.8 m/s^{2} tyngdens akselerasjon, ρ = 1000 kg/m^{3} vannets massetetthet og γ = 73 mN/m vannets overflatespenning.

Finn uttrykk for bølgelengdeavhengigheten til overflatebølgenes fasehastighet og gruppehastighet, dvs v(λ) og v_{g}(λ). Hva blir v(λ) og v_{g}(λ) for bølgelengder som er henholdsvis små og store i forhold til 2π\sqrt{γ/ρg}? Sett inn tallverdier for grenseflaten mellom luft og vann og skisser v(λ) og v_{g}(λ) for bølgelengder mellom 1 mm og 1 m. (Bruk logaritmisk skala for λ.)

Hva blir gruppehastigheten i grensen λ → 0 (evt k → ∞)? Vurder om dette representerer noen ”fare” for den oppgitte dispersjonsrelasjonen. (Tips: Bestem hvilken bølgelengde som tilsvarer at gruppehastigheten nærmer seg lyshastigheten i vakuum, c = 3 · 10^{8} m/s.) Gjør tilsvarende vurdering i grensen λ → ∞ (dvs k → 0).

Oppgave 3

Når overflatebølgenes oppførsel bestemmes av tyngdekrefter alene, har vi såkalte tyngdebølger. (Vi må selvsagt fremdeles ha en viss overflatespenning for i det hele tatt å ha en veldefinert grenseflate, men kreftene som skyldes overflatespenningen kan nå neglisjeres i forhold til tyngdekreftene.) Da er dispersjonsrelasjonen gitt ved

ω^{2} = gk tanh kd

både for dypt og grunt vann. Her er d vannets dybde.

a) Finn uttrykk for tyngdebølgenes fasehastighet v(k) og gruppehastighet v_{g}(k). Skisser v og v_{g} som funksjoner av den dimensjonsløse størrelsen kd. Når vil du si at du er på grunt vann, dvs: For hvilke bølgelengder er v_{g} ≃ v en bra tilnærmelse?

b) Er den gitte dispersjonsrelasjonen for tyngdebølger konsistent med dypvannstilnærmelsen i oppgave 2?