FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2008.

Løsningsforslag til øving 1

Oppgave 1

a) Vi antar at Hookes lov, F = kx, gjelder for fjæra. Newtons andre lov gir da

−kx = m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}

eller

ẍ + ω^{2}x = 0

med ω^{2} = k/m. Ligningen har løsning x(t) = A cos(ωt + ϕ), som gitt i oppgaveteksten. Klossen svinger altså med vinkelfrekvens ω = \sqrt{k/m}. Amplituden A og fasekonstanten ϕ fastlegger vi ved å bruke de oppgitte initialbetingelsene x(0) = x_{0} og v(0) = ẋ(0) = v_{0}. Vi har

v(t) = ẋ(t) = −ωA sin(ωt + ϕ)

slik at

x_{0} = A cos ϕ

og

v_{0} = −ωA sin ϕ

Herfra er det flere mulige veier å gå. Vi kan for eksempel dele disse to ligningene med hverandre, som gir

ϕ = − arctan \frac{v_{0}}{x_{0}ω}

og

A = \frac{x_{0}}{cos arctan v_{0}/x_{0}ω}

Alternativt kan vi kvadrere de to ligningene og legge dem sammen:

sin^{2} ϕ + cos^{2} ϕ = \frac{v_{0}^{2}}{ω^{2}A^{2}} + \frac{x_{0}^{2}}{A^{2}}

som gir

A = \sqrt{x_{0}^{2} + (v_{0}/ω)^{2}} = x_{0}\sqrt{1 + mv_{0}^{2}/kx_{0}^{2}}

og deretter

ϕ = arccos \frac{x_{0}}{A} = arccos \frac{1}{\sqrt{1 + mv_{0}^{2}/kx_{0}^{2}}}

b) Siden vi ikke har noe demping i systemet, er den totale energien E bevart. (Dvs: Vi har et konservativt system.) Da kan vi beregne energien ved et hvilket som helst tidspunkt, for eksempel ved maksimalt utsving, der x = x_{max} = A og v = 0:

E = E_{p}^{max} = \frac{1}{2}kA^{2} = \frac{1}{2}k (x_{0}^{2} + mv_{0}^{2}/k) = \frac{1}{2}kx_{0}^{2} + \frac{1}{2}mv_{0}^{2}

Det endelige svaret her gjenkjenner vi som summen av potensiell og kinetisk energi ved t = 0, E_{p0} + E_{k0}, hvilket jo også må tilsvare den totale energien.

c) Skriver vi løsningen på formen x(t) = B cos ωt + C sin ωt, har vi

ẋ(t) = −ωB sin ωt + ωC cos ωt

og dermed

B = x_{0}

og

C = v_{0}/ω

d) Maksimalt utsving:

x_{max} = A = x_{0}\sqrt{1 + mv_{0}^{2}/kx_{0}^{2}} = x_{0}\sqrt{1 + E_{k0}/E_{p0}}

Maksimal hastighet:

v_{max} = ωA = \sqrt{\frac{k}{m} (x_{0}^{2} + mv_{0}^{2}/k)} = v_{0}\sqrt{1 + kx_{0}^{2}/mv_{0}^{2}} = v_{0}\sqrt{1 + E_{p0}/E_{k0}}

Med oppgitte tallverdier:

E_{p0} = 0.5 · 10 · 0.010^{2} = \frac{1}{2000}

E_{k0} = 0.5 · 0.100 · 0.10^{2} = \frac{1}{2000}

begge i enheten J, ettersom vi kun har brukt SI–enheter underveis. Følgelig er x_{max} = \sqrt{2}x_{0} ≃ 1.4 cm og v_{max} = \sqrt{2}v_{0} ≃ 14 cm/s.

Oppgave 2

Bevegelsesligning for klossen:

mẍ = −kx + mg

Her har vi valgt positiv x-retning nedover. Uten tyngdefelt til stede (g = 0) er klossens likevektsposisjon x = 0. I tyngdefeltet bestemmes den nye likevektsposisjonen Δx ved å sette total kraft lik null, følgelig

−kΔx + mg = 0
Δx = mg/k

Med ny posisjonsvariabel

y = x − Δx

får vi bevegelsesligningen

mÿ = −k(y + Δx) + mg = −ky

som betyr at klossen vil svinge harmonisk med vinkelfrekvens ω = \sqrt{k/m} omkring likevektsposisjonen y = 0, dvs x = Δx = mg/k. Med tallverdiene fra oppgave 1 har vi

Δx = 0.100 · 9.8/10 = 9.8 cm

Oppgave 3

a) Newtons 2. lov gir oss klossenes bevegelsesligninger. La oss f.eks. velge positiv retning for utsving fra likevekt mot høyre. I den nederste figuren har vi da x_{1} > 0, x_{2} > 0 og x_{1} > x_{2}, slik at fjæra til venstre er strukket mens den i midten og den til høyre er presset sammen. Venstre fjær er strukket en lengde x_{1} og virker på masse 1 med en kraft mot venstre. Fjæra i midten er sammenpresset en lengde x_{1} − x_{2} og virker på masse 1 med en kraft mot venstre og masse 2 med en kraft mot høyre. Fjæra til høyre er sammenpresset en lengde x_{2} og virker på masse 2 med en kraft mot venstre. Dermed har vi kraft på masse 1:

F_{1} = −kx_{1} + 2k(x_{2} − x_{1}) = −3kx_{1} + 2kx_{2}

og kraft på masse 2:

F_{2} = −kx_{2} − 2k(x_{2} − x_{1}) = 2kx_{1} − 3kx_{2}

Newtons 2. lov gir da

mẍ_{1} = −3kx_{1} + 2kx_{2}
mẍ_{2} = 2kx_{1} − 3kx_{2}

b) Innsetting av antatte løsninger for x_{1}(t) og x_{2}(t) gir ligningene

−mω^{2}A = k(−3A + 2B)
−mω^{2}B = k(2A − 3B)

etter at vi har strøket en felles faktor cos(ωt + ϕ) i alle ledd. Fra hver av disse ligningene kan vi finne et uttrykk for forholdet A/B:

A/B = 2k/(3k − mω^{2})
A/B = (3k − mω^{2})/2k

Ettersom venstre side i disse ligningene er like store, må også høyre side være det. Dermed:

2k/(3k − mω^{2}) = (3k − mω^{2})/2k

eller

m^{2}ω^{4} − 6kmω^{2} + 5k^{2} = 0

Dette er en 2.gradsligning for ω^{2}, med løsninger

ω^{2} = \frac{6km ± \sqrt{36k^{2}m^{2} − 20k^{2}m^{2}}}{2m^{2}} = \frac{6km ± 4km}{2m^{2}}

dvs k/m og 5k/m. De mulige vinkelfrekvensene som klossene kan svinge med er følgelig ω_{a} = \sqrt{k/m} og ω_{s} = \sqrt{5k/m}, som vi skulle vise.

c) Vi finner sammenhengen mellom A og B for hver av de to vinkelfrekvensene ved å sette inn i det ene eller andre uttrykket ovenfor for forholdet A/B:

A_{a}/B_{a} = 2k/(3k − mω_{a}^{2}) = 1
A_{s}/B_{s} = 2k/(3k − mω_{s}^{2}) = −1

Det betyr at i den ”antisymmetriske moden” er x_{1} = x_{2}, og de to massene svinger fram og tilbake med samme fase, uten at fjæra i midten strekkes eller presses sammen. I den ”symmetriske moden” er x_{1} = −x_{2}, og de to massene svinger i motfase, slik at fjæra i midten strekkes og presses sammen dobbelt så mye som fjærene til venstre og høyre.

Antisymmetrisk mode:

Symmetrisk mode:

I den antisymmetriske moden påvirkes hver av de to massene kun av krafta fra ei fjær, ettersom fjæra i midten verken strekkes eller presses sammen. Med andre ord, hver masse svinger på samme måte som om den andre ikke var til stede, og vi må ha ω_{a}^{2} = k/m. I den symmetriske moden er fjæra til venstre strukket en lengde x_{1} og fjæra i midten er sammenpresset en lengde 2x_{1} når masse 1 er i posisjon x_{1}. Da blir total kraft på masse 1 lik −5kx_{1}. Med andre ord, masse 1 svinger som om den var festet til ei fjær med fjærkonstant 5k, slik at vi må ha ω_{s}^{2} = 5k/m. (Tilsvarende argument kan gjennomføres for masse 2.) Vi ser at dette stemmer med resultatet i punkt b).

Kommentar: For å få systemet til å svinge i en av disse to modene, kan vi ikke ha vilkårlige initialbetingelser. Vi ser f.eks. at hvis vi skyver begge massene like langt i samme retning og slipper dem, vil systemet svinge i den antisymmetriske moden. Skyves de to massene like langt i hver sin retning, vil det svinge i den symmetriske moden. Den generelle svingebevegelsen vil være en superposisjon av begge moder:

x_{1}(t) = A_{a} cos(ω_{a}t + ϕ_{a}) + A_{s} cos(ω_{s}t + ϕ_{s})
x_{2}(t) = A_{a} cos(ω_{a}t + ϕ_{a}) − A_{s} cos(ω_{s}t + ϕ_{s})

Her har vi 4 ubestemte konstanter, A_{a}, A_{s}, ϕ_{a} og ϕ_{s}, som kan fastlegges hvis vi kjenner (f.eks.) posisjon og hastighet til hver av de to massene ved t = 0.