FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2008. Veiledning: Torsdag 3. september. Innleveringsfrist: Mandag 8. september kl 12:00.

Øving 2

a) I forelesningene har vi sett at det mekaniske svingesystemet i figur A ovenfor, med F (t) = F_{0} cos ωt, oppfyller bevegelsesligningen

mẍ + bẋ + kx = F_{0} cos ωt,

der x representerer massens utsving i forhold til likevektsposisjonen x = 0. Vis, ved hjelp av Kirchhoffs spenningsregel, at den elektriske svingekretsen i figur B, med V (t) = V_{0} cos ωt, oppfyller en tilsvarende differensialligning,

LQ̈ + RQ̇ + \frac{1}{C} Q = V_{0} cos ωt,

der Q representerer ladningen på kondensatoren. Ved direkte sammenligning ser en at selvinduktansen L i det elektriske svingesystemet er analog til massen m i det mekaniske svingesystemet. (Ikke urimelig: m representerer treghet i det mekaniske systemet, dvs en motstand mot endringer i hastigheten; L representerer treghet i det elektriske systemet, dvs en motstand mot endringer i strømstyrken.) Hva er den elektriske svingekretsens analogier til størrelsene b, k, F_{0}, x og ẋ i det mekaniske systemet? b) Siden den elektriske kretsen er analog til det mekaniske systemet, må ladningen på kondensatoren bli

Q(t) = Q_{0} sin(ωt + ϕ_{0}),

i det vi antar at spenningskilden har stått på så lenge at en eventuell homogen løsning Q_{h}(t) av den tilsvarende homogene ligningen kan neglisjeres. Amplituden til ladningen på kondensatoren er nå gitt ved

Q_{0} = \frac{V_{0}}{ωG(ω)},

mens fasekonstanten er gitt ved

cos ϕ_{0} = \frac{R}{G(ω)}.

Her er

G(ω) = \sqrt{R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2}}.

Sett inn den oppgitte løsningen Q(t) i differensialligningen og vis at Q_{0} og ϕ_{0} blir som angitt. Bestem den vinkelfrekvensen ω = ω_{1} til spenningskilden som gir størst mulig ladningsamplitude Q_{0}, samt den vinkelfrekvensen ω = ω_{2} som gir størst mulig strømamplitude I_{0}. Bestem tallsvar for ω_{1} og ω_{2} når kretsen har følgende komponenter: R = 100 Ω, L = 0.1 mH, C = 10 nF. Finn også (tall-)verdien til de tilhørende fasekonstantene ϕ_{01} og ϕ_{02}. Tegn opp ladnings- og strømamplituden som funksjon av vinkelfrekvensen ω.

Oppgitt: Spenningsfall over motstand: RI; over kondensator: Q/C; over induktans: Lİ.

c) Vi betrakter nå frie (F = 0) og svakt dempede (b/2m ≡ δ ≪ ω_{0} ≡ \sqrt{k/m}) svingninger i det mekaniske systemet i figur A. Vis at relativt energitap pr periode er bestemt av systemets godhetsfaktor Q:

\frac{ΔE}{E} = \frac{E(t) − E(t + T)}{E(t)} = \frac{2π}{Q}

d) Vis at (midlere) tilført effekt,

⟨P ⟩ = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} P (t)dt = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} F_{0} cos ωtẋ(t)dt,

tilsvarer (midlere) tapt effekt på grunn av demping,

⟨P_{d}⟩ = ⟨bẋ^{2}⟩,

i det mekaniske systemet i figur A. Fasitsvar: b: ω_{1} = 0.7 MHz, ω_{2} = 1.0 MHz, ϕ_{01} = 35^{∘}, ϕ_{02} = 0.