FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2008. Veiledning: Torsdag 18. september. Innleveringsfrist: Mandag 22. september kl 12:00.

Øving 4

Oppgave 1

a) Verifiser at en transversal bølge som forplanter seg langs x-aksen med utsving D med komponentene D_{z} og D_{y} gitt ved

D_{z} = D_{0} cos(kx − ωt)  (1)

og

D_{y} = D_{0} sin(kx − ωt)  (2)

er sirkulærpolarisert. (Tips: Ta for deg |D|, samt D(t) ved en fast posisjon x.)

b) Bestem om dreieretningen til D er med eller mot klokka sett fra en observatør som ser mot bølgens forplantningsretning. (Dersom D dreier med klokka, sies bølgen å være høyredreiende. Dersom D dreier mot klokka, sies bølgen å være venstredreiende.)

c) Skriv opp ligninger tilsvarende ligning (1) og (2) for en bølge som har motsatt sirkulær polarisasjon av bølgen gitt ved lign. (1) og (2).

d) Tegn opp, i (y, z)-planet, kurven som (spissen av) D følger dersom

D = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + D_{0} sin(kx − ωt + π)ẑ

Gjør det samme når

D = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + 2D_{0} cos(kx − ωt)ẑ

e) Vis at en lineærpolarisert bølge kan betraktes som en superposisjon av to sirkulærpolariserte bølger, med like stor amplitude, men med motsatt dreieretning, dvs en høyredreiende og en venstredreiende. (Tips: Dette burde gå relativt greit for polarisasjon langs y- eller langs zaksen. Hvis du er riktig ambisiøs, viser du det samme for polarisasjon langs en vilkårlig retning i yz-planet.)

Oppgave 2

En gaussformet bølgepuls

ξ(x, t) = ξ_{0} exp [−\frac{(x − vt)^{2}}{a^{2}} ]

vandrer med hastighet v langs ei (uendelig lang) fjær med massetetthet μ [kg/m] og elastisk modul K [N]. Størrelsen ξ(x, t) representerer det longitudinale utsvinget (i forhold til likevekt) ved tidspunkt t for den biten av fjæra som har likevektsposisjon x.

a) Hvordan kan vi være sikre på at ξ(x, t) virkelig er en mulig bølgepuls langs ei slik fjær? I hvilken retning propagerer bølgen?

b) Hvordan avhenger bølgehastigheten v av fjæras elastiske egenskaper (dvs K) og treghetsegenskaper (dvs μ)? Kontroller at uttrykket for v har riktig dimensjon. (Her er det kun meningen at du skal skrive ned uttrykket for v, ikke utlede det.)

c) Finn et uttrykk for (den totale) energien E assosiert med bølgepulsen. Kontroller at uttrykket for E har riktig dimensjon.

Tips: Ta utgangspunkt i at bølgens energi pr lengdeenhet er

ε(x, t) = μv^{2} (\frac{∂ξ}{∂x})^{2}

som utledet i forelesningene. Dermed er ε(x, t) dx bølgens energiinnhold mellom x og x + dx. Det oppgis her følgende integral:

∫_{−∞}^{∞} β^{2}e^{−β^{2}}dβ = \frac{\sqrt{π}}{2}

d) Regn ut bølgens totale impuls p og sjekk at uttrykket tilfredsstiller sammenhengen p = E/v.

Tips: Ta utgangspunkt i at bølgens impuls pr lengdeenhet er

π(x, t) = μ (1 − \frac{∂ξ}{∂x}) \frac{∂ξ}{∂t}

som utledet i forelesningene. Det oppgis her at

∫_{−∞}^{∞} βe^{−β^{2}}dβ = 0

(som du kanskje ser, uten å løse integralet?)

Svar: 2c: E = \sqrt{π}μv^{2}ξ_{0}^{2}/\sqrt{2}a Som nevnt i forelesningene, er det mulig å finne en eksakt løsning for longitudinale bølger på masse-fjær-transmisjonslinjen, uten å anta at bølgelengden λ er mye større enn avstanden d mellom to nabomasser. Ved å betrakte kreftene som virker på massen m med likevektsposisjon x, endte vi opp med følgende bevegelsesligning:

m\frac{∂^{2}ξ}{∂t^{2}} = s [ξ(x + d) + ξ(x − d) − 2ξ(x)]

Her er ξ(x ± d) utsvinget til massen med likevektsposisjon x ± d, mens s er fjærkonstanten (bruker her s siden vi trenger k for å angi bølgetallet). La oss starte med å anta at en harmonisk bølge på formen

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt)

er løsning av bevegelsesligningen ovenfor. At harmoniske bølger faktisk er løsning av ligningen, skal vi straks se. Samtidig vil vi finne sammenhengen mellom ω og k.

a) Vis at ξ(x + d) − ξ(x) og ξ(x − d) − ξ(x) kan skrives som

ξ(x + d) − ξ(x) = 2ξ_{0} cos(kx − ωt + \frac{kd}{2}) sin \frac{kd}{2}
ξ(x − d) − ξ(x) = −2ξ_{0} cos(kx − ωt − \frac{kd}{2}) sin \frac{kd}{2}

Tips: Benytt relasjonen

sin α − sin β = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α − β}{2}

b) Vis deretter at bevegelsesligningen ovenfor resulterer i følgende sammenheng mellom vinkelfrekvensen ω og bølgetallet k (den såkalte dispersjonsrelasjonen):

ω(k) = \sqrt{\frac{4s}{m} sin^{2} (\frac{kd}{2})}

Tips: Benytt relasjonene

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

c) I forelesningene viste vi at for lange bølgelengder (λ ≫ d, eventuelt kd ≪ 1) blir bølgehastigheten konstant (dvs uavhengig av bølgelengden) og lik

v = \frac{ω}{k} = \sqrt{\frac{sd^{2}}{m}}

Vis at den eksakte sammenhengen mellom ω og k fra punkt b gir samme resultat for v dersom kd ≪ 1.

d) Et slik enkelt masse-fjær-system som vi har sett på her, er en ganske bra modell for forplantning av longitudinale bølger i krystallinske materialer. (Du kan lære mer om dette i emner som Faste stoffers fysikk senere i studiet.) Bruk resultatene ovenfor til å vise at longitudinale bølger tilsvarende hørbar lyd vil forplante seg med konstant (dvs frekvensuavhengig) hastighet v gjennom en krystall, f.eks. et metall. Tips: Anslå bølgelengden for hørbar lyd og sammenlign med en typisk avstand mellom naboatomer i en metallkrystall.