FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2008.

Løsningsforslag til øving 6

Oppgave 1

a) Litt repetisjon: Generelt er hastigheten til mekaniske bølger gitt ved

v = \sqrt{mediets elastiske modul mediets massetetthet}

Lydhastigheten i en gass er dermed i utgangspunktet gitt ved

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

der B er gassens bulkmodul [N/m^{2}] og ρ er gassens massetetthet [kg/m^{3}]. I forelesningene viste vi at for en ideell gass under adiabatiske forhold (ingen utveksling av varme - det foregår typisk veldig langsomt i forhold til hvor fort lyden forplanter seg) kan bulkmodulen uttrykkes ved hjelp av trykket p og den såkalte adiabatkonstanten γ ≡ C_{p}/C_{V}:

B = γp

Her er C_{p} = (dQ/dT)_{p} gassens varmekapasitet (evt. spesifikk varme) når trykket p holdes konstant, mens C_{V} = (dQ/dT)_{V} tilsvarende er varmekapasiteten når volumet V holdes konstant. Symbolet Q angir varme, mens T er temperaturen. For gasser med en-atomige molekyler er γ = 5/3, og for gasser med to-atomige molekyler er γ = 7/5. Dermed blir lydhastigheten

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}}

For ideell gass har vi sammenhengen

pV = Nk_{B}T

mellom gassens trykk p, volum V, temperatur T og antall molekyler N. (k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K er Boltzmanns konstant) Massetettheten kan skrives ρ = m · N/V, der m er molekylmassen. Dermed kan lydhastigheten også uttrykkes ved

v = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

Vi har her T = 303 K og molekylmasse

m = 40 · 1.67 · 10^{−27} kg ≃ 6.68 · 10^{−26} kg

Dermed blir lydhastigheten

v = \sqrt{\frac{5 · 1.38 · 10^{−23} · 303}{3 · 6.68 · 10^{−26}}} ≃ 323 m/s

Dette er ikke langt unna den målte verdien 324.37 m/s, så det tyder på at antagelsene om ideell gass og adiabatiske forhold er gode.

b) Dersom trykket i gassen økes fra 1 til 2 atm uten at temperaturen endres, vil eksperimentet gi uendret lydhastighet, ettersom v = \sqrt{γk_{B}T/m}, dvs egentlig bare avhengig av temperaturen. Dersom trykket i gassen økes fra p_{1} til p_{2} = 2p_{1} uten at varme utveksles med omgivelsene (dvs adiabatisk), vil både temperaturen T og massetettheten ρ øke. Vi kan starte med å finne det nye volumet V_{2} (dvs: det volumet som ved trykk p_{2} = 2 atm okkuperes av like mange molekyler N som ved p_{1} = 1 atm okkuperte et volum V_{1}). Vi bruker antagelsen om adiabatiske forhold, pV^{γ} = konstant:

p_{1}V_{1}^{γ} = p_{2}V_{2}^{γ}
p_{1}V_{1}^{γ} = 2p_{1}V_{2}^{γ}
V_{2} = (\frac{1}{2})^{1/γ} V_{1} = (\frac{1}{2})^{3/5} V_{1} ≃ 0.66V_{1}

Ny temperatur T_{2} blir dermed

T_{2} = \frac{p_{2}V_{2}}{Nk_{B}}
= \frac{2p_{1} · 0.66V_{1}}{Nk_{B}}
= 1.32\frac{p_{1}V_{1}}{Nk_{B}}
= 1.32T_{1}

Molekylmassen har ikke endret seg, så den nye lydhastigheten blir

v_{2} = \sqrt{\frac{γk_{B}T_{2}}{m}}
= \sqrt{1.32}v_{1}
= 372.60 m/s

Oppgave 2

a) I forelesningene har vi utledet sammenhengene mellom amplituden A til innkommende bølge og amplitudene B og C til henholdsvis reflektert og transmittert bølge:

B = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} A
C = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} A

Her er μ_{2} = 90 g/m masse pr lengdeenhet på den tunge delen av strengen, μ_{1} = 10 g/m er masse pr lengdeenhet på den lette delen av strengen og A = 5 mm. Innsetting av disse tallverdiene gir B = 2A/4 = 2.5 mm og C = 2A/4 = 2.5 mm. b) Fra forelesningene har vi følgende uttrykk for midlere effekt transportert med den innkommende bølgen (også oppgitt i oppgaveteksten):

\overline{P}_{i} = \frac{1}{2}vμ_{1}ω^{2}A^{2}
= \frac{1}{2}\sqrt{S/μ_{1}}μ_{1}ω^{2}A^{2}
= \frac{1}{2}\sqrt{Sμ_{1}}ω^{2}A^{2}
= \frac{1}{2}\sqrt{4 · 10 · 10^{−3}} · (10π)^{2} · (5 · 10^{−3})^{2}
= 2.5 mJ/s

Andel av effekten som reflekteres er gitt ved refleksjonskoeffisienten R = \overline{P}_{r}/\overline{P}_{i}:

R = (\frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} )^{2} = 0.25 = 25%

Resten blir transmittert:

T = 1 − R = 0.75 = 75%

c) Utsvinget til venstre for skjøten i x = 0 er:

y(x, t) = y_{i}(x, t) + y_{r}(x, t)
= A (sin(kx − ωt) + \frac{1}{2} sin(kx + ωt))
= A (sin kx cos ωt − cos kx sin ωt + \frac{1}{2} sin kx cos ωt + \frac{1}{2} cos kx sin ωt)
= A (\frac{3}{2} sin kx cos ωt − \frac{1}{2} cos kx sin ωt)

som er en sum av to stående bølger.

d) Nei, vi kan ikke konkludere med at bølgen y(x, t) på den lette delen av strengen ikke transporterer noen netto energi. Riktignok er den en sum av to stående bølger, men på samme måte som en sum av to vandrende bølger sammen kan bli en stående bølge som ikke transporterer netto energi, kan en sum av to stående bølger til sammen være en vandrende bølge som transporterer netto energi. Og det er jo tilfelle her. Figuren nedenfor viser øyeblikksbilder av y(x, t) i området mellom kx = −4π og kx = 0. Stjernene antyder hvordan en bestemt bølgetopp propagerer mot høyre, med varierende amplitude. e) Uansett skjøtens posisjon kan vi for det første velge ϕ_{i} = 0 (for eksempel). Fysikken kan ikke avhenge av hvor vi legger skjøten. Med andre ord: Dersom vi hadde en bestemt sammenheng mellom fasene til y_{i} og y_{r} med skjøten i x = 0, må vi fortsatt ha den samme bestemte sammenhengen med skjøten i x = a. Det oppnår vi ved å velge ϕ_{r} = −2ka. Da blir nemlig

y_{i}(a, t) = A sin(ka − ωt) = −A sin(ωt − ka)

og

y_{r}(a, t) = B sin(ka + ωt − 2ka) = B sin(ωt − ka)

dvs

y_{r}(a, t) = −\frac{B}{A} y_{i}(a, t)

den samme sammenhengen mellom y_{r} og y_{i} som vi hadde i x = 0 med skjøten i x = 0, dvs enten y_{r} og y_{i} i fase (motsatt fortegn på B og A) eller y_{r} og y_{i} i motfase (samme fortegn på B og A) i skjøten. Mer generelt må vi, med skjøten i x = a, velge fasekonstanter slik at

ϕ_{r} + ϕ_{i} = −2ka

Oppgave 3

a) B Grunntonen på en svingende streng som er festet i begge ender har bølgelengde λ = 2L, der L er strengens lengde. En bestemt frekvens ν oppnås da ved å sørge for at bølgehastigheten blir

v = λν = 2νL

Samtidig vet vi at v er bestemt ved strammingen S og strengens masse pr lengdeenhet μ:

v = \sqrt{S/μ}

Strammingen må derfor være

S = μv^{2}
= \frac{m}{L} · 4ν^{2}L^{2}
= 4mν^{2}L
= 4 · 0.0002 · 440^{2} · 0.370
≃ 57.3 N

b) A Stående lydbølger i et tynt luftfylt rør som er åpent i begge ender, har knutepunkt, Δp = 0, for trykkbølgen i begge ender, dvs i x = 0 og i x = L, der L = 0.5 m i dette tilfellet. Utsvingsbølgen ξ har dermed maksimal amplitude (buk) i begge ender. Laveste resonansfrekvens (grunntonen) må dermed ha bølgelengde λ = 2L = 1 m. Med lydhastighet v = 340 m/s blir laveste resonansfrekvens

ν = v/λ = 340 Hz

c) C Rørets resonansfrekvenser er ν_{n} = n · 340 Hz, med n = 1, 2, .... Resonans nr n har n knutepunkter for den stående utsvingsbølgen ξ. Altså 4 knutepunkter for moden med frekvens 1360 Hz.

d) D Vi kan tenke på dette systemet som tvungne svingninger: Den vibrerende gitarstrengen virker som en ekstern harmonisk kraft på luftmolekylene omkring, som dermed tvinges til å svinge fram og tilbake med samme frekvens som den vibrerende strengen. Bølgehastigheten er bestemt ved mediets elastiske egenskaper og mediets massetetthet og er generelt forskjellig for strengen og lufta. Dermed blir også bølgelengden λ = v/ν generelt forskjellig. Når det gjelder amplituden, vil det nok være en sammenheng mellom disse, for et kraftigere anslag på strengen resulterer jo i sterkere lyd. Men som vi har sett i en tidligere øving, vil utsvingsamplituden til luftmolekylene typisk være av størrelsesorden noen få nanometer (med lydintensitet godt under smertegrensen), som åpenbart er mye mindre enn typiske amplituder på en vibrerende gitarstreng.

At vandretiden τ kun avhenger av strengens omløpsperiode T, og ikke av lengden L eller massen M, kan vi slå fast med ren dimensjonsanalyse: Problemet inneholder kun størrelsene T, M og L. Det går ikke an å lage størrelser med enhet s (sekund) ved å kombinere kg og m. Da gjenstår bare T. Bølgehastigheten er v = \sqrt{S/μ} = \sqrt{SL/M}. Snordraget S(r) i avstand r fra festepunktet er den kraften som skal til for å holde strengbiten mellom r og L i sirkulær bane med vinkelfrekvens ω = 2π/T, dvs akselerasjon a(r′) = ω^{2}r′:

S(r) = ∫ a dm = ∫_{r}^{L} ω^{2}r′ \frac{M}{L} dr′
= \frac{ω^{2}M}{2L} (L^{2} − r^{2})

Med S(r) på plass skulle resten være grei skuring! Bølgehastigheten blir

v(r) = \sqrt{S(r)L/M} = \frac{ω}{\sqrt{2}}\sqrt{L^{2} − r^{2}} = \frac{\sqrt{2}π}{T} \sqrt{L^{2} − r^{2}}

Tiden som en bølgepuls bruker fra festepunktet til strengens ende blir dermed

τ = ∫ \frac{dr′}{v}
= \frac{T}{\sqrt{2}π} ∫_{0}^{L} \frac{dr′}{\sqrt{L^{2} − r^{′2}}}
= \frac{T}{2\sqrt{2}}