FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2008.

Løsningsforslag til øving 8

Oppgave 1 a)

∇ · a cos(k · r − ωt)
= (x̂\frac{∂}{∂x} + ŷ\frac{∂}{∂y} + ẑ\frac{∂}{∂z} ) · a cos(k_{x}x + k_{y}y + k_{z}z − ωt)
= − (x̂k_{x} + ŷk_{y} + ẑk_{z}) · a sin(k_{x}x + k_{y}y + k_{z}z − ωt)
= −k · a sin(k · r − ωt)

∇ × a cos(k · r − ωt)

= x̂\frac{∂}{∂y} a_{z} cos(k · r − ωt) − x̂\frac{∂}{∂z} a_{y} cos(k · r − ωt)

+ŷ\frac{∂}{∂z} a_{x} cos(k · r − ωt) − ŷ\frac{∂}{∂x}a_{z} cos(k · r − ωt)

+ẑ\frac{∂}{∂x}a_{y} cos(k · r − ωt) − ẑ\frac{∂}{∂y} a_{x} cos(k · r − ωt)

= − [x̂(k_{y}a_{z} − k_{z}a_{y}) + ŷ(k_{z}a_{x} − k_{x}a_{z}) + ẑ(k_{x}a_{y} − k_{y}a_{x})] sin(k · r − ωt)
= −k × a sin(k · r − ωt)

b) Vi kan for eksempel se på x-komponenten av vektoridentiteten som vi er bedt om å bevise:

[∇ × (∇ × a)]_{x} = \frac{∂}{∂y} (∇ × a)_{z} − \frac{∂}{∂z} (∇ × a)_{y}
= \frac{∂}{∂y} (\frac{∂a_{y}}{∂x} − \frac{∂a_{x}}{∂y} ) − \frac{∂}{∂z} (\frac{∂a_{x}}{∂z} − \frac{∂a_{z}}{∂x} )
= \frac{∂}{∂x} (\frac{∂a_{y}}{∂y} + \frac{∂a_{z}}{∂z} ) − (\frac{∂^{2}a_{x}}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}a_{x}}{∂z^{2}} )
= \frac{∂}{∂x} (\frac{∂a_{x}}{∂x} + \frac{∂a_{y}}{∂y} + \frac{∂a_{z}}{∂z} ) − (\frac{∂^{2}a_{x}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}a_{x}}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}a_{x}}{∂z^{2}} )
= [∇ (∇ · a)]_{x} − [∇^{2}a]_{x}

Oppgave 2

Helt generelt vil vi ha, for en elektromagnetisk bølge som forplanter seg i retning k̂ og som er polarisert i retning n̂ (med n̂ ⊥ k̂):

E = n̂E_{0} cos(k · r − ωt)

Alternativt kunne vi selvsagt ha brukt sinus i stedet for cosinus. Ettersom c = ω/k, der k = |k| (slik at k = kk̂), kan vi også skrive

E = n̂E_{0} cos[ω(t − k̂ · r/c)]

I kartesiske koordinater er r = xx̂ + yŷ+ zẑ. Magnetfeltet B kan deretter bestemmes ved hjelp av relasjonen som vi utledet fra Faraday-Henrys lov, nemlig

ωB = k × E

eller

B = \frac{k}{ω} × E = \frac{1}{c}k̂ × E

a) Forplantning i negativ z-retning betyr at k̂ = −ẑ. Polarisering i y-retning betyr at n̂ = ŷ. Dermed:

E = ŷE_{0} cos[ω(t + z/c)]

Det tilhørende magnetfeltet er

B = \frac{1}{c}k̂ × E
= \frac{1}{c}(−ẑ) × ŷE_{0} cos[ω(t + z/c)]
= x̂\frac{E_{0}}{c} cos[ω(t + z/c)]

Kartesiske komponenter av k og n̂:

k_{x} = k_{y} = 0 , k_{z} = −\frac{ω}{c}
n_{x} = n_{z} = 0 , n_{y} = 1

b) Forplantning i retning (1, 1, 1) betyr at vi kan skrive

k = a(x̂ + ŷ + ẑ)

Samtidig har vi k = ω/c slik at

\frac{ω}{c} = a\sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}a

dvs a = ω/\sqrt{3}c. Dermed:

k = \frac{ω}{\sqrt{3}c} (x̂ + ŷ + ẑ)

og

k̂ = \frac{1}{\sqrt{3}} (x̂ + ŷ + ẑ)

Polarisering normalt på z-aksen betyr at vi kan skrive

n̂ = n_{x}x̂ + n_{y}ŷ

Gauss’ lov brukte vi til å vise at k · E = 0, som her betyr at k̂ · n̂ = 0, og som gir

(x̂ + ŷ + ẑ) · (n_{x}x̂ + n_{y}ŷ) = n_{x} + n_{y} = 0

dvs n_{y} = −n_{x}. Ettersom |n̂| = 1, finner vi n_{x} = 1/\sqrt{2} og n_{y} = −1/\sqrt{2} (eller omvendt, hvis du foretrekker det). Alt i alt:

E = \frac{1}{\sqrt{2}}(x̂ − ŷ)E_{0} cos [ω (t − \frac{x + y + z}{\sqrt{3}c} )]

Det tilhørende magnetfeltet blir

B = \frac{1}{c}k̂ × E
= \frac{1}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} (x̂ + ŷ + ẑ) × \frac{1}{\sqrt{2}}(x̂ − ŷ)E_{0} cos [ω (t − \frac{x + y + z}{\sqrt{3}c} )]
= \frac{E_{0}}{\sqrt{6}c}(x̂ + ŷ − 2ẑ) cos [ω (t − \frac{x + y + z}{\sqrt{3}c} )]

Kartesiske komponenter av k og n̂:

k_{x} = k_{y} = k_{z} = \frac{ω}{\sqrt{3}c}
n_{x} = −n_{y} = \frac{1}{\sqrt{2}} , n_{z} = 0

Figur: