FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2009. Veiledning: Fredag 28. og mandag 31. august. Innleveringsfrist: Onsdag 2. september kl 12:00.

Øving 1

Oppgave 1

En kloss med masse m er festet til ei (masseløs) fjær med kraftkonstant k. Fjæra er festet til en vegg i sin venstre ende. Klossen kan gli uten friksjon på et horisontalt underlag. Bevegelsen blir startet (ved t = 0) ved å dra klossen fra likevektsposisjonen x = 0 mot høyre til posisjon x_{0} og gi den en hastighet v_{0} mot høyre. Klossen utfører deretter harmoniske svingninger beskrevet ved x(t) = A cos(ωt + ϕ) der ω = 2π/T er vinkelfrekvensen, T er perioden, og ϕ er en fasekonstant.

a) Finn uttrykk for ω, ϕ og amplituden A.

b) Finn systemets totale energi E.

c) Vi kunne alternativt ha skrevet løsningen på formen x(t) = B cos ωt + C sin ωt. Hva blir da de to koeffisientene B og C?

d) Bestem tallverdier for svingebevegelsens maksimale utsving og maksimale hastighet dersom m = 100 g, k = 10 N/m, x_{0} = 1.0 cm og v_{0} = 10 cm/s.

Oppgave 2

Systemet i oppgave 1 dreies 90 grader slik at massen m henger vertikalt i tyngdefeltet. Ny likevektsposisjon for klossen tilsvarer at fjæra er strukket en lengde Δx. Finn et uttrykk for Δx. (Tyngdens akselerasjon: g = 9.8 m/s^{2}) Bestem også tallverdi for Δx. Skriv ned bevegelsesligningen for klossen og vis at den vil svinge harmonisk med samme frekvens som før.

Oppgave 3

To like klosser, hver med masse m, er festet til masseløse fjærer med fjærkonstant henholdsvis k (de to ytterste) og 2k (den i midten).

I den øverste figuren er hele systemet i likevekt: Begge masser er i ro, alle fjærer har lengde a, og de er verken strukket eller sammenpresset. Nederst er det vist en generell tilstand, der x_{1} og x_{2} angir ”utsvingene” til henholdsvis masse 1 og 2.

a) Skriv ned bevegelsesligningene for de to klossene.

b) Anta at de to klossene utfører harmoniske svingninger med samme vinkelfrekvens ω og samme fasekonstant ϕ. Med andre ord, anta at

x_{1}(t) = A cos(ωt + ϕ)
x_{2}(t) = B cos(ωt + ϕ)

Sett disse antagelsene inn i bevegelsesligningene og vis at de to mulige vinkelfrekvensene som klossene kan svinge med er ω_{a} = \sqrt{k/m} og ω_{s} = \sqrt{5k/m}.

c) Bestem, for hver av vinkelfrekvensene ω_{a} og ω_{s}, sammenhengen mellom koeffisientene A og B. Tegn øyeblikksbilder av systemet når det svinger i hver av disse såkalte ”normale modene” a (for antisymmetrisk) og s (for symmetrisk). Prøv om du kan se direkte fra disse bildene hva de tilhørende ω må være og sammenlign med det du fant i punkt b.

Fasitsvar:

Oppgave 1: d) 1.4 cm, 14 cm/s.

Oppgave 2: 9.8 cm.

Ekstra regnetrening (Uten retting og uten løsningsforslag.)

1. Vis at

Ce^{iωt} + C^{∗}e^{−iωt} = 2Re [Ce^{iωt}]

Her er C^{∗} den kompleks konjugerte av C.

2. Vis at

2Re [Ce^{iωt}] = D cos ωt + G sin ωt

dersom

D = 2ReC , G = −2ImC

3. Vis, gjerne ved direkte innsetting, at

x(t) = ae^{−δt} + bte^{−δt}

er løsning av differensialligningen

ẍ + 2δẋ + ω_{0}^{2}x = 0

når ω_{0} = δ. Her er a og b vilkårlige konstanter.