FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2009. Veiledning: Fredag 4. og mandag 7. september. Innleveringsfrist: Onsdag 10. september kl

12:00.

Øving 2

a) I forelesningene har vi sett at det mekaniske svingesystemet i figur A ovenfor, med F (t) = F_{0} cos ωt, oppfyller bevegelsesligningen

mẍ + bẋ + kx = F_{0} cos ωt,

der x representerer massens utsving i forhold til likevektsposisjonen x = 0. Vis at Kirchhoffs spenningsregel anvendt på den elektriske svingekretsen i figur B, med V (t) = V_{0} cos ωt, gir en tilsvarende differensialligning,

Lq̈ + Rq̇ + \frac{1}{C} q = V_{0} cos ωt,

for ladningen q på kondensatoren. Ved direkte sammenligning ser en at selvinduktansen L i det elektriske svingesystemet er analog til massen m i det mekaniske svingesystemet. (Ikke urimelig: m representerer treghet i det mekaniske systemet, dvs en motstand mot endringer i hastigheten; L representerer treghet i det elektriske systemet, dvs en motstand mot endringer i strømstyrken.) Hva er den elektriske svingekretsens analogier til størrelsene b, k, F_{0}, x og ẋ i det mekaniske systemet? b) Siden den elektriske kretsen er ”analog” til det mekaniske systemet, må ladningen på kondensatoren kunne skrives på formen

q(t) = q_{0} sin(ωt − α),

der vi antar at spenningskilden har stått på så lenge at en eventuell homogen løsning q_{h}(t) av den tilsvarende homogene ligningen kan neglisjeres. (I forelesningene skrev vi x(t) = A sin(ωt + ϕ) for utsvinget til massen m i det mekaniske svingesystemet. Vi har med andre ord her valgt motsatt fortegn på fasekonstanten α i uttrykket for ladningen q(t). Motivasjonen for å gjøre dette er ikke å skape forvirring, men snarere å gjøre sammenhengen med det som ble gjort i El.mag. i vår så tydelig som mulig, for den som vil gå tilbake å sjekke opp det.) Sett inn det oppgitte uttrykket for q(t) i differensialligningen og vis at amplituden blir

q_{0} = \frac{V_{0}}{ω\sqrt{R^{2} + X^{2}}} ,

mens fasekonstanten er gitt ved

α = arctan (\frac{X}{R} ) .

Her er X = ωL − 1/ωC den såkalte reaktansen til den elektriske svingekretsen.

Anta at kretsen har følgende komponenter: V_{0} = 10 V, R = 1.0 Ω, L = 0.1 mH, C = 10 nF. Hva blir da halvverdibredden Δω for resonanskurven q_{0}(ω)? Hva blir kretsens godhetsfaktor Q = ω_{0}/Δω?

Tegn opp ladningsamplituden q_{0}, strømamplituden ωq_{0} og fasevinkelen α som funksjoner av vinkelfrekvensen ω. (Tips: Bruk f.eks. MATLAB, Octave eller gnuplot til å plotte disse tre funksjonene. Velg plotteintervall for ω slik at resonanstoppene kommer tydelig fram, og uten at de blir altfor smale på grafene.)

Tips:

Spenningsfall over motstand: RI; over kondensator: q/C; over induktans: Lİ.

Du vil trolig få bruk for uttrykkene for sinus og cosinus til differansen mellom to vinkler. Videre kan det være lurt å tegne opp en rettvinklet trekant med utgangspunkt i at tan α = X/R, med tanke på at du har bruk for uttrykk for både sin α og cos α. c) Vi betrakter nå frie og svakt dempede svingninger i det mekaniske systemet i figur A (dvs F = 0 og b/2m ≡ δ ≪ ω_{0} ≡ \sqrt{k/m}). Regn ut relativt energitap pr periode,

\frac{ΔE}{E} = \frac{E(t) − E(t + T)}{E(t)},

og vis at godhetsfaktoren blir den samme, enten den defineres som Q ≡ 2πE/ΔE, eller som Q ≡ ω_{0}/Δω (der Δω er resonanstoppens halvverdibredde ved tvungne svingninger, som ovenfor). Tips: exp(−z) ≃ 1 − z dersom |z| ≪ 1.

d) Vis at (midlere) tilført effekt,

⟨P ⟩ = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} P (t)dt = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} F_{0} cos ωtẋ(t)dt,

tilsvarer (midlere) tapt effekt på grunn av demping,

⟨P_{d}⟩ = ⟨bẋ^{2}⟩,

i det mekaniske systemet i figur A.