FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2009. Veiledning: Fredag 9. og mandag 12. oktober. Innleveringsfrist: Onsdag 14. oktober kl 12:00.

Øving 7

Oppgave 1

I virkeligheten er transversale bølger på en streng ikke fullstendig dispersjonsfrie. Anta at vi har en uniform metallstreng med sirkulært tverrsnitt A, massetetthet ρ og elastisk modul (Youngs modul) Y. Dispersjonsrelasjonen er da bestemt ved

ω^{2} = \frac{S}{μ} k^{2} + \frac{Y A^{2}}{4πμ} k^{4}

der S er strekket i strengen og μ = ρA er strengens masse pr lengdeenhet.

a) Vis at bølgene er dispersjonsfrie dersom bølgelengden oppfyller

λ ≫ A\sqrt{\frac{πY}{S}}

Anta at du har en pianostreng av stål, med diameter 1.4 mm, som er strukket med en kraft 941.5 N? Youngs modul for stål er 1.95 · 10^{11} N/m^{2}, og massetettheten er ρ = 7800 kg/m^{3}. Hva bør bølgelengden da være for at vi med god tilnærmelse kan anta dispersjonsfrie bølger på pianostrengen?

b) Finn uttrykk for frekvensavhengigheten til de transversale bølgenes fasehastighet og gruppehastighet, dvs v(ν) og v_{g}(ν). (Tips: Ta utgangspunkt i v(k) og v_{g}(k) og bruk deretter den gitte dispersjonsrelasjonen som gir sammenhengen mellom ν og k^{2}.) Hva blir v og v_{g} for lave frekvenser, dvs i grensen ν → 0? Hva blir v og v_{g} for riktig høye frekvenser? Sett inn tallverdier for pianostrengen i a) og skisser v(ν) og v_{g}(ν) for frekvenser mellom 0 og 4 kHz.

Oppgave 2

Overflatebølger på dypt vann (dvs i grenseflaten mellom vann og luft) kan med god tilnærmelse beskrives av dispersjonsrelasjonen

ω = \sqrt{gk + γk^{3}/ρ}

Her er g = 9.8 m/s^{2} tyngdens akselerasjon, ρ = 1000 kg/m^{3} vannets massetetthet og γ = 73 mN/m vannets overflatespenning.

Finn uttrykk for bølgelengdeavhengigheten til overflatebølgenes fasehastighet og gruppehastighet, dvs v(λ) og v_{g}(λ). Hva blir v(λ) og v_{g}(λ) for bølgelengder som er henholdsvis små og store i forhold til 2π\sqrt{γ/ρg}? Sett inn tallverdier for grenseflaten mellom luft og vann og skisser v(λ) og v_{g}(λ) for bølgelengder mellom 1 mm og 1 m. (Bruk logaritmisk skala for λ.)

Hva blir gruppehastigheten i grensen λ → 0 (evt k → ∞)? Vurder om dette representerer noen ”fare” for den oppgitte dispersjonsrelasjonen. (Tips: Bestem hvilken bølgelengde som tilsvarer at gruppehastigheten nærmer seg lyshastigheten i vakuum, c = 3 · 10^{8} m/s.) Gjør tilsvarende vurdering i grensen λ → ∞ (dvs k → 0).

Oppgave 3

Når overflatebølgenes oppførsel bestemmes av tyngdekrefter alene, har vi såkalte tyngdebølger. (Vi må selvsagt fremdeles ha en viss overflatespenning for i det hele tatt å ha en veldefinert grenseflate, men kreftene som skyldes overflatespenningen kan nå neglisjeres i forhold til tyngdekreftene.) Da er dispersjonsrelasjonen gitt ved

ω^{2} = gk tanh kd

både for dypt og grunt vann. Her er d vannets dybde.

a) Finn uttrykk for tyngdebølgenes fasehastighet v(k) og gruppehastighet v_{g}(k). Skisser v og v_{g} som funksjoner av den dimensjonsløse størrelsen x = kd. Når vil du si at du er på grunt vann, dvs: For hvilke bølgelengder er v_{g} = v en brukbar tilnærmelse?

b) Er den gitte dispersjonsrelasjonen for tyngdebølger konsistent med dypvannstilnærmelsen i oppgave 2?

I denne øvingen oppfordres det til å bruke både manuelle og digitale hjelpemidler til å tegne de ulike grafene.