FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2009.

Løsningsforslag til øving 8

Oppgave 1 Helt generelt vil vi ha, for en elektromagnetisk bølge som forplanter seg i retning k̂ og som er polarisert i retning n̂ (med n̂ ⊥ k̂):

E = n̂E_{0} cos(k · r − ωt)

Alternativt kunne vi selvsagt ha brukt sinus i stedet for cosinus. Ettersom c = ω/k, der k = |k| (slik at k = kk̂), kan vi også skrive

E = n̂E_{0} cos[ω(t − k̂ · r/c)]

I kartesiske koordinater er r = xx̂ + yŷ+ zẑ. Magnetfeltet B kan deretter bestemmes ved hjelp av relasjonen som vi utledet fra Faraday-Henrys lov, nemlig

ωB = k × E

eller

B = \frac{k}{ω} × E = \frac{1}{c}k̂ × E

a) Forplantning i negativ z-retning betyr at k̂ = −ẑ. Polarisering i y-retning betyr at n̂ = ŷ. Dermed:

E = ŷE_{0} cos[ω(t + z/c)]

Det tilhørende magnetfeltet er

B = \frac{1}{c}k̂ × E
= \frac{1}{c}(−ẑ) × ŷE_{0} cos[ω(t + z/c)]
= x̂\frac{E_{0}}{c} cos[ω(t + z/c)]

Kartesiske komponenter av k og n̂:

k_{x} = k_{y} = 0 , k_{z} = −\frac{ω}{c}
n_{x} = n_{z} = 0 , n_{y} = 1

b) Forplantning i retning (1, 1, 1) betyr at vi kan skrive

k = a(x̂ + ŷ + ẑ)

Samtidig har vi k = ω/c slik at

\frac{ω}{c} = a\sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}a

dvs a = ω/\sqrt{3}c. Dermed:

k = \frac{ω}{\sqrt{3}c} (x̂ + ŷ + ẑ)

og

k̂ = \frac{1}{\sqrt{3}} (x̂ + ŷ + ẑ)

Polarisering normalt på z-aksen betyr at vi kan skrive

n̂ = n_{x}x̂ + n_{y}ŷ

Gauss’ lov brukte vi til å vise at k · E = 0, som her betyr at k̂ · n̂ = 0, og som gir

(x̂ + ŷ + ẑ) · (n_{x}x̂ + n_{y}ŷ) = n_{x} + n_{y} = 0

dvs n_{y} = −n_{x}. Ettersom |n̂| = 1, finner vi n_{x} = 1/\sqrt{2} og n_{y} = −1/\sqrt{2} (eller omvendt, hvis du foretrekker det). Alt i alt:

E = \frac{1}{\sqrt{2}}(x̂ − ŷ)E_{0} cos [ω (t − \frac{x + y + z}{\sqrt{3}c} )]

Det tilhørende magnetfeltet blir

B = \frac{1}{c}k̂ × E
= \frac{1}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} (x̂ + ŷ + ẑ) × \frac{1}{\sqrt{2}}(x̂ − ŷ)E_{0} cos [ω (t − \frac{x + y + z}{\sqrt{3}c} )]
= \frac{E_{0}}{\sqrt{6}c}(x̂ + ŷ − 2ẑ) cos [ω (t − \frac{x + y + z}{\sqrt{3}c} )]

Kartesiske komponenter av k og n̂:

k_{x} = k_{y} = k_{z} = \frac{ω}{\sqrt{3}c}
n_{x} = −n_{y} = \frac{1}{\sqrt{2}} , n_{z} = 0

Figur (selv om det ikke ble bedt om dette i oppgaveteksten):

Oppgave 2 Hvis flaten absorberer all strålingen fullstendig, overføres all strålingens impuls til flaten. Dermed:

P_{rad} = \frac{I}{c} = \frac{1300}{3 · 10^{8}} = \frac{1.3}{3} · 10^{−5} N/m^{2}

Hvis flaten reflekterer all strålingen fullstendig, blir impulsoverføringen dobbelt så stor. Dermed:

P_{rad} = \frac{2I}{c} = \frac{2 · 1300}{3 · 10^{8}} = \frac{2.6}{3} · 10^{−5} N/m^{2}

Det atmosfæriske trykket er P_{atm} = 10^{5} N/m^{2}. Det betyr at strålingstrykket fra sola er forsvinnende lite i forhold:

\frac{P_{rad}}{P_{atm}} ∼ 10^{−10}

Oppgave 3 Poyntings vektor:

S = \frac{1}{μ_{0}} E × B = \frac{μ_{0}p_{0}^{2}ω^{4} sin^{2} θ}{16π^{2}cr^{2}} cos^{2}[ω(t − r/c)] θ̂ × ϕ̂

Med hensyn til retninger, kan vi tenke oss at vi befinner oss i en posisjon på et kuleskall med radius r, slik at z-aksen går gjennom sentrum av kula, fra sørpol til nordpol. Dermed peker θ̂ sørover og ϕ̂ østover, slik at kryssproduktet mellom disse to blir en enhetsvektor som peker radielt utover, dvs r̂. Altså:

S = \frac{μ_{0}p_{0}^{2}ω^{4} sin^{2} θ}{16π^{2}cr^{2}} cos^{2}[ω(t − r/c)] r̂

Strålingsintensiteten får vi ved å ta et tidsmiddel over en periode av tallverdien av Poyntings vektor. Her er det bare faktoren cos^{2}[ω(t − r/c)] som avhenger av tiden, og ettersom cos^{2} x + sin^{2} x = 1, samt at middelverdien av cos^{2} x og sin^{2} x over en periode må være like store, har vi umiddelbart at ⟨cos^{2} x⟩ = ⟨sin^{2} x⟩ = 1/2. Følgelig:

⟨S⟩ = \frac{μ_{0}p_{0}^{2}ω^{4} sin^{2} θ}{32π^{2}cr^{2}} r̂

Total utstrålt energi pr tidsenhet finner vi ved å legge sammen bidragene utsendt gjennom alle biter dA av ei hel kuleflate med radius r. Dvs:

⟨P ⟩ = ∮ ⟨S⟩ · dA

Her er

dA = r^{2} sin θdθdϕ r̂

se Rottmann eller elmagkurset fra i vår. Dermed:

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}p_{0}^{2}ω^{4}}{32π^{2}c} ∫_{0}^{2π} dϕ ∫_{0}^{π} sin^{3} θ dθ

Integralet over ϕ gir rett og slett en faktor 2π. Integralet over θ kan vi sikkert finne i Rottmann. Alternativt kan vi skrive om:

sin^{3} θ = [\frac{1}{2i} (e^{iθ} − e^{−iθ})]^{3}
= −\frac{1}{4} · \frac{1}{2i} [e^{3iθ} − 3e^{iθ} + 3e^{−iθ} − e^{−3iθ}]
= −\frac{1}{4} [sin 3θ − 3 sin θ]

Og nå klarer vi å integrere:

∫_{0}^{π} sin^{3} θ dθ = −\frac{1}{4} ∫_{0}^{π} [sin 3θ − 3 sin θ] dθ
= −\frac{1}{4}|_{0}^{π} [−\frac{1}{3} cos 3θ + 3 cos θ]
= −\frac{1}{4} [\frac{1}{3} + \frac{1}{3} − 3 − 3]
= \frac{4}{3}

Total utstrålt effekt blir dermed

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}p_{0}^{2}ω^{4}}{12πc}

som vi skulle vise.

Oppgave 4

• Anta at vi ser i en retning omtrent normalt på forplantningsretningen til det innkommende sollyset. Ved å dreie polarisasjonsfilteret ser man at lyset som kommer fra den blå himmelen er polarisert i forholdsvis stor grad. Polarisasjonsretningen er normalt på både synslinjen og på forplantningsretningen til det innkommende sollyset.

Forklaring: Det innkommende sollyset er ikke polarisert men består av bølger med elektrisk feltvektor E i alle mulige retninger, dog normalt på forplantningsretningen, siden elektromagnetiske bølger alltid er transversale. En bølge med en gitt polarisasjonsretning kan dekomponeres i en komponent parallelt med synslinjen (E_{p}) og en komponent normalt på synslinjen (E_{n}):

Komponenten E_{p} vil indusere oscillerende dipoler p_{p} i atmosfæren. Disse sender igjen ut elektromagnetisk stråling med retningsavhengig intensitet I(θ) ∼ sin^{2} θ, der θ = π, og dermed I = 0, tilsvarer nedover mot bakken. Komponenten E_{n} vil indusere oscillerende dipoler p_{n}. Utsendt stråling fra disse dipolene blir maksimal i planet normalt på dipolen (θ = π/2), dvs inklusive retningen nedover mot bakken.

De to bildene lengst til venstre er tatt sørover, dvs mer eller mindre normalt på sollysets forplantningsretning. De to bildene i midten er tatt østover, dvs mer eller mindre i samme retning som sollysets forplantningsretning. De to bildene lengst til høyre er tatt vestover, dvs mot solnedgangen.

Vi ser tydelig at lyset fra sørhimmelen er polarisert, med E vertikalt, dvs normalt på synslinjen (og, selvsagt, normalt på sollysets forplantningsretning). Dette stemmer bra med diskusjonen ovenfor: Synslinjen tilsvarer en retning som samsvarer med θ = π/2 for elektriske dipoler som oscillerer vertikalt, og som sender bølger mot oss med E pekende vertikalt. For oscillerende dipoler på østhimmelen vil synslinjen tilsvare θ ≃ π/2 uansett polarisasjonsretning. Dette lyset er derfor ikke polarisert. Tilsvarende vil også gjelde på himmelen mot vest.

• På min Dell PC-skjerm er lyset polarisert diagonalt, på skrå oppover mot venstre. På en Samsung skjerm jeg har stående, er lyset polarisert vertikalt. Begge disse skjermene er såkalte LCD-skjermer (liquid crystal display), der det grunnleggende prinsippet nettopp baserer seg på å manipulere polarisert lys. Eldre CRT-skjermer (cathode ray tube) gir ikke polarisert lys. Så vidt jeg vet gjelder dette heller ikke såkalte plasma-skjermer.

Anta nå at vi holder et polarisasjonsfilter foran en LCD-skjerm slik at minimalt med lys slipper gjennom. Holder vi nå et annet polarisasjonsfilter bak det første, vil vi observere at minimalt med lys slipper gjennom de to hvis de enten holdes med samme orientering, eller normalt på hverandre. Holdes filter nummer to på skrå i forhold til det første, ser vi at lys slipper gjennom.

Forklaring: Filteret nærmest skjermen holdes slik at filterets polarisasjonsretning danner en vinkel θ med polarisasjonsretningen til lyset fra skjermen. Lyset fra skjermen, eller rettere sagt det tilhørende elektriske feltet, kan nå dekomponeres, i en komponent parallelt med filterets polarisasjonsretning, E_{p}, og en komponent normalt på filterets polarisasjonsretning, E_{n}. Hvis amplituden til feltvektoren i lyset fra skjermen er E_{0}, har vi nå amplituder E_{0} cos θ for E_{p} og E_{0} sin θ for E_{n}. Med andre ord, lyset som slipper gjennom filteret nærmest skjermen har amplitude E_{0} cos θ og retning på det elektriske feltet langs dette filterets polarisasjonsretning. Denne elektromagnetiske bølgen faller deretter inn mot filteret nærmest deg, med en retning på det elektriske feltet E_{p} som danner en vinkel π/2 − θ med dette filterets akse. Vi kan nå gjøre en tilsvarende dekomponering av E_{p}, hhv parallelt med og normalt på aksen til filteret nærmest deg. Resultatet blir at amplituden på lyset som slipper gjennom begge filtre er

E_{0} cos θ · cos(π/2 − θ) = E_{0} cos θ · sin θ

• Med tre filtre mellom deg og en upolarisert lyskilde, og med filtrenes orientering som forklart i oppgaveteksten, blir situasjonen akkurat den samme som i forrige kulepunkt, i og med at filteret nærmest lyskilden slipper gjennom lys som er polarisert i en bestemt retning, akkurat som LCD-skjermen. Amplituden til lyset som du ser gjennom de tre filtrene vil derfor avhenge av det midterste filterets orientering som

E(θ) ∼ cos θ · sin θ

Denne amplituden er maksimal når θ = 45 grader. Det er lett å vise ved å derivere E mhp θ og sette lik null.

Løsning, trening med div og curl a)

∇ · a cos(k · r − ωt)
= (x̂\frac{∂}{∂x} + ŷ\frac{∂}{∂y} + ẑ\frac{∂}{∂z} ) · a cos(k_{x}x + k_{y}y + k_{z}z − ωt)
= − (x̂k_{x} + ŷk_{y} + ẑk_{z}) · a sin(k_{x}x + k_{y}y + k_{z}z − ωt)
= −k · a sin(k · r − ωt)

∇ × a cos(k · r − ωt)

= x̂\frac{∂}{∂y} a_{z} cos(k · r − ωt) − x̂\frac{∂}{∂z} a_{y} cos(k · r − ωt)

+ŷ\frac{∂}{∂z} a_{x} cos(k · r − ωt) − ŷ\frac{∂}{∂x}a_{z} cos(k · r − ωt)

+ẑ\frac{∂}{∂x}a_{y} cos(k · r − ωt) − ẑ\frac{∂}{∂y} a_{x} cos(k · r − ωt)

= − [x̂(k_{y}a_{z} − k_{z}a_{y}) + ŷ(k_{z}a_{x} − k_{x}a_{z}) + ẑ(k_{x}a_{y} − k_{y}a_{x})] sin(k · r − ωt)
= −k × a sin(k · r − ωt)

b) Vi kan for eksempel se på x-komponenten av vektoridentiteten som vi er bedt om å bevise:

[∇ × (∇ × a)]_{x} = \frac{∂}{∂y} (∇ × a)_{z} − \frac{∂}{∂z} (∇ × a)_{y}
= \frac{∂}{∂y} (\frac{∂a_{y}}{∂x} − \frac{∂a_{x}}{∂y} ) − \frac{∂}{∂z} (\frac{∂a_{x}}{∂z} − \frac{∂a_{z}}{∂x} )
= \frac{∂}{∂x} (\frac{∂a_{y}}{∂y} + \frac{∂a_{z}}{∂z} ) − (\frac{∂^{2}a_{x}}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}a_{x}}{∂z^{2}} )
= \frac{∂}{∂x} (\frac{∂a_{x}}{∂x} + \frac{∂a_{y}}{∂y} + \frac{∂a_{z}}{∂z} ) − (\frac{∂^{2}a_{x}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}a_{x}}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}a_{x}}{∂z^{2}} )
= [∇ (∇ · a)]_{x} − [∇^{2}a]_{x}