Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høsten 2006, uke 34

Mandag 21.08.06

Hvorfor bølgefysikk? Man støter på bølgefenomener overalt. Eksempler:

• overflatebølger på vann

• akustiske bølger (f.eks. lyd)

• elektromagnetiske bølger (f.eks. lys)

• partikkelbølger (partikler som elektroner er også bølger!)

• seismiske bølger Dermed: Viktig å forstå bølgefysikk for å kunne

• forstå virkeligheten omkring seg

• bidra i mange teknologiske sammenhenger Mange senere emner i studiet bygger på kunnskap i bølgefysikk. Eksempler: Optikk, Kvantefysikk, Faststoff-fysikk etc. etc. Del I: SVINGNINGER. [FGT 13; YF 13; TM 14; AF 10; LL 9] Svingninger (oscillasjoner) er: periodisk (repeterende) oppførsel (bevegelse) omkring en likevektsposisjon. (Bølger er forplantning av svingninger.) Eksempler på svingesystemer:

• person i huske (pendel)

• gitarstreng

• atom i molekyl

• atom i fast stoff (krystallgitter)

• elektroner i antenne Vi betrakter her kun svingninger i 1 dimensjon og bruker som modellsystem en masse festet til ei fjær:

I tillegg til udempet harmonisk svingning ser vi på dempet svingning og tvungen svingning.

Enkel harmonisk svingning [FGT 13.1-13.3; YF 13.2; TM 14.1,14.3; AF 10.2-10.5; LL 9.1-9.3]

Idealisert modell: friksjonsfritt underlag, og Hookes lov antas å gjelde for fjæra:

F = kx

Her er k fjærkonstanten, med dimensjon [k] = N/m. I praksis gjelder Hookes lov for små utsving fra likevekt.

Kraft på m dersom fjæra strekkes en lengde x (sammenpresset fjær, x < 0, er også inneholdt her):

F = −kx

Bevegelsen til m, dvs x(t), gitt ved Newtons 2.lov:

F = ma = m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = mẍ

som gir

−kx = mẍ

eller

ẍ + \frac{k}{m}x = 0

Vi innfører ω = \sqrt{k/m}, som gir

ẍ + ω^{2}x = 0

Dette er en 2. ordens homogen differensialligning (DL) for x(t). Vi ser uten videre at både sin ωt og cos ωt er aktuelle løsninger, ettersom

\frac{d^{2}}{dt^{2}} sin ωt = −ω^{2} sin ωt

og

\frac{d^{2}}{dt^{2}} cos ωt = −ω^{2} cos ωt

En generell løsning er dermed

x(t) = B cos ωt + C sin ωt

Her må vi kjenne to såkalte initialbetingelser, f.eks. x(0) og v(0) = ẋ(0), for å få fastlagt de to integrasjonskonstantene B og C.

En alternativ form på den generelle løsningen er

x(t) = A cos(ωt + ϕ)

der vi også har to integrasjonskonstanter, A og ϕ, som må fastlegges ved hjelp av to initialbetingelser. Ved hjelp av standard trigonometriske relasjoner (se Rottmann!) vil en finne at de to alternative løsningsformene er identiske dersom B = A cos ϕ og C = −A sin ϕ. Med eksempelvis valget ϕ = 0 vil massens utsving x(t) se slik ut:

Her har vi skalert begge aksene. Noen begreper:

• A = svingningens amplitude = maksimalt utsving

• T = perioden

• f = 1/T = frekvensen = antall svingninger pr tidsenhet

• ω = 2π/T = 2πf = vinkelfrekvensen

• ωt + ϕ = fasen til svingningen

• ϕ = fasekonstanten Massen svinger med (vinkel-)frekvens ω = \sqrt{k/m} når systemet overlates til seg selv. Vi kaller derfor ω for systemets egenfrekvens eller naturlige frekvens. Vi kan nå lett regne ut massens hastighet v(t) og akselerasjon a(t):

v(t) = ẋ(t) = −ωA sin(ωt + ϕ) = ωA cos(ωt + ϕ + π/2)

a(t) = ẍ(t) = −ω^{2}A cos(ωt + ϕ) = ω^{2}A cos(ωt + ϕ + π)

Altså er v faseforskjøvet π/2 i forhold til x, og a videre π/2 i forhold til v.

Onsdag 23.08.06

Harmonisk oscillator i tyngdefeltet [FGT 13.3; YF 13.4]

Den konstante tyngdekraften mg fører til at likevektsposisjonen flyttes fra x = 0 (uten tyngdefelt) til Δx = mg/k (for da er fjærkrafta −kΔx og tyngdekrafta mg tilsammen lik null). Total kraft på m når den er i posisjon x:

F = −kx + mg

Bevegelsen x(t) fås ved hjelp av Newtons 2. lov:

−kx + mg = mẍ

Løses f.eks. ved å substituere x′ = x − Δx:

−k(x′ + Δx) + mg = m\frac{d^{2}}{dt^{2}} (x′ + Δx) = m\frac{d^{2}x′}{dt^{2}}
−kx′ = m\frac{d^{2}x′}{dt^{2}}
x′(t) = A cos(ωt + ϕ)

med ω = \sqrt{k/m}, dvs som uten tyngdefelt. Dermed:

x(t) = A cos(ωt + ϕ) + Δx

dvs enkel harmonisk svingning omkring den nye likevektsposisjonen Δx = mg/k.

Energibetraktninger for enkel harmonisk oscillator [FGT 13.4; YF 13.3; TM 14.2; AF 10.4; LL 9.4]

Kinetisk energi:

E_{k} = \frac{1}{2}mẋ^{2} = \frac{1}{2}mω^{2}A^{2} sin^{2}(ωt + ϕ) = \frac{1}{2}kA^{2} sin^{2}(ωt + ϕ)

Potensiell energi:

E_{p} = − ∫ F · dl = − ∫_{0}^{x}(−kx′)dx′ = \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2}kA^{2} cos^{2}(ωt + ϕ)

Total energi:

E = E_{k} + E_{p} = \frac{1}{2}kA^{2}

Med andre ord: total energi E er bevart, dvs uavhengig av tida t. Og det er jo som ventet med en slik konservativ kraft

F = −∇E_{p} = −x̂\frac{dE_{p}}{dx} = −kxx̂

Vi har x_{max} = A og v_{max} = ωA, så vi kan skrive

E = \frac{1}{2}kx_{max}^{2} = \frac{1}{2}mv_{max}^{2}

Energien pendler mellom kinetisk og potensiell energi:

Her er E_{p} og E_{k} plottet i enheter av kA^{2}/2 som funksjon av ωt.