Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høsten 2006, uke 35

Mandag 28.08.06

Dempet harmonisk svingning [FGT 13.7; YF 13.7; TM 14.4; AF 10.13; LL 9.7,9.8]

I praksis dempes frie svingninger pga friksjon, f.eks. luftmotstand. Vi antar her at dempingskraften F_{d} er proporsjonal med hastigheten v, og motsatt rettet denne:

F_{d} = −b v

Her er b en dempingskonstant, med dimensjon Ns/m. Merk at det ikke alltid er en god antakelse at dempingskraften er proporsjonal med hastigheten.

Total kraft på massen m når den er i posisjon x med hastighet ẋ blir

−kx − bẋ

hvoretter Newtons 2. lov gir bevegelsesligningen

mẍ = −kx − bẋ

Vi innfører ω_{0} = \sqrt{k/m} og δ = b/2m og får

ẍ + 2δẋ + ω_{0}^{2}x = 0

Dette er en 2. ordens homogen DL, der formen på løsningen avhenger av hvor sterk dempingen er:

1) δ > ω_{0}: overdempet system

x(t) = Ae^{−(δ+γ)t} + Be^{−(δ−γ)t}

Her har vi innført γ ≡ \sqrt{δ^{2} − ω_{0}^{2}}, og A og B er to integrasjonskonstanter som fastlegges ved hjelp av to initialbetingelser, f.eks. posisjon og hastighet ved t = 0, dvs x(0) og ẋ(0). Et par eksempler, med ulike initialbetingelser, er vist i figuren nedenfor (v = ẋ).

2) δ < ω_{0}: underdempet system

x(t) = Ae^{−δt} cos(ωt + ϕ)

Her har vi innført ω ≡ \sqrt{ω_{0}^{2} − δ^{2}}, og A og ϕ er igjen to integrasjonskonstanter som må bestemmes ved hjelp av to initialbetingelser. Et eksempel er vist i figuren nedenfor, med δ = 0.9, ω = 1, x(0) = 1 og ẋ(0) = −0.9.

3) δ = ω_{0}: kritisk dempet system

x(t) = Ae^{−δt} + BtAe^{−δt}

Et eksempel er vist i figuren nedenfor, med δ = 0.9, x(0) = −1 og ẋ(0) = 4.9.

Generell metode for å løse slike differensialligninger Utsvinget x(t) må være på formen

x(t) ∼ e^{−zt}

fordi da vil også ẋ og ẍ være på samme form, og det kan la seg gjøre å få venstre side av ligningen

ẍ + 2δẋ + ω_{0}^{2}x = 0

til å bli lik null. Mulige verdier av parameteren z finner vi ved simpelthen å sette den antatte løsningen inn i ligningen. Vi har

x = e^{−zt} ẋ = −ze^{−zt} ẍ = z^{2}e^{−zt}

som gir, ved innsetting,

z^{2}e^{−zt} − 2δze^{−zt} + ω_{0}^{2}e^{−zt} = 0

Siden exp(−zt) er forskjellig fra null, må vi ha

z^{2} − 2δz + ω_{0}^{2} = 0

som gir de to mulige verdiene for z:

z = δ ± \sqrt{δ^{2} − ω_{0}^{2}}

Dersom dempingen er tilstrekkelig sterk til at δ > ω_{0}, har vi to reelle løsninger for z, noe som umiddelbart gir løsningen for x(t) beskrevet under overdempet system ovenfor. Dersom δ = ω_{0}, får vi to sammenfallende løsninger z_{1} = z_{2} = δ, og i utgangspunktet bare den ene løsningen x_{1}(t) = exp(−δt). En løsning til, x_{2}(t), bestemmes deretter ved hjelp av såkalt variasjon av parametre: Prøv x_{2}(t) = u(t)x_{1}(t). Innsetting i bevegelsesligningen fører da til at vi må ha ü = 0, som har u(t) = t som løsning. Dersom δ < ω_{0}, får vi to komplekse løsninger for z, ettersom \sqrt{−1} = i:

z = δ ± i\sqrt{ω_{0}^{2} − δ^{2}} = δ ± iω

Ved å bruke Eulers formel,

e^{iωt} = cos ωt + i sin ωt

er det nå en relativt smal sak å overbevise seg om at den generelle reelle løsning for x(t) blir som beskrevet under underdempet system ovenfor.

Energitap i dempet svingning. Godhetsfaktor.

La oss betrakte et underdempet system (dvs δ < ω_{0}). Fra figuren ovenfor er det klart at systemet masse + fjær taper energi for hver periode av svingningen: Når utsvinget x er maksimalt, er hastigheten null, og total energi er lik potensiell energi. Og mindre maksimalutsving betyr mindre potensiell energi lagret i fjæra. Vi kjenner x(t) og kan dermed analysere dette energitapet.

x(t) = Ae^{−δt} cos(ωt + ϕ)

gir x_{max} = A exp(−δt) og

E(t) = E_{p,max}(t) = \frac{1}{2}kx_{max}^{2} = \frac{1}{2}kA^{2}e^{−2δt}

Relativt energitap pr periode blir

\frac{ΔE(t)}{E(t)} = \frac{E(t) − E(t + T)}{E(t)} = 1 − e^{−2δT} = 1 − e^{−4πδ/ω}

altså uavhengig av t. Dersom dempingen er svak, dvs δ ≪ ω_{0}, forenkler dette seg til

\frac{ΔE}{E} ≃ \frac{4πδ}{ω_{0}}

for da er exp(−4πδ/ω) ≃ 1 − 4πδ/ω. Svingesystemets godhetsfaktor Q (engelsk: quality factor eller figure of merit) defineres nå slik:

Q ≡ \frac{ω_{0}}{2δ} = \frac{mω_{0}}{b}

Dermed blir relativt energitap omvendt proporsjonalt med Q,

\frac{ΔE}{E} = \frac{2π}{Q} ,

for systemer med svak demping. Med andre ord, jo større verdi for Q, desto mindre er energitapet. Den tapte energien omdannes til varme.

Onsdag 30.08.06

Tvungen svingning og resonans

[FGT 13.8; YF 13.8; TM 14.5; AF 10.14; LL 9.9,9.10]

Vi betrakter samme system som ovenfor, men med den forskjellen at vi lar en harmonisk ekstern kraft

F_{eks} = F_{0} cos ωt

virke på massen m:

Total kraft på m er

−kx − bẋ + F_{0} cos ωt

så bevegelsesligningen (Newtons 2. lov) blir

mẍ + bẋ + kx = F_{0} cos ωt

Dette er en 2. ordens inhomogen DL med generell løsning

x(t) = x_{h}(t) + x_{p}(t)

der x_{h}(t) er en generell løsning av den tilsvarende homogene DL, mẍ + bẋ + kx = 0 (se Dempet svingning ovenfor), mens x_{p}(t) er en (vilkårlig) partikulær løsning av den inhomogene ligningen. I en viss tid etter at vi har skrudd på den eksterne kraften vil selvsagt både x_{h} og x_{p} bidra til utsvingsforløpet x(t). Men dersom vi antar at vi har ventet tilstrekkelig lenge (dvs inntil t ≫ 1/δ), kan vi sette x_{h} ≃ 0 ettersom x_{h} uansett vil inneholde faktoren exp(−δt). Dermed står vi igjen med x(t) = x_{p}(t), og her er det ikke vanskelig å gjette seg til at x_{p} må være på formen sin ωt, eventuelt cos ωt. Vi kunne forsøke

x(t) = B_{0} sin ωt + C_{0} cos ωt

hvoretter innsetting i DL vil fastlegge B_{0} og C_{0} (dvs uttrykt ved gitte parametre m, b, k, F_{0} og ω). Alternativt kan vi skrive løsningen på formen

x(t) = A_{0} sin(ωt + ϕ_{0})

Innsetting i DL gir da

A_{0} = \frac{F_{0}}{m\sqrt{(ω^{2} − ω_{0}^{2})^{2} + (bω/m)^{2}}} = \frac{F_{0}}{m\sqrt{(ω^{2} − ω_{0}^{2})^{2} + (2δω)^{2}}}

for amplituden og

tan ϕ_{0} = \frac{ω_{0}^{2} − ω^{2}}{ωb/m} = \frac{ω_{0}^{2} − ω^{2}}{2δω}

for fasekonstanten. Her er, som før, ω_{0}^{2} = k/m og δ = b/2m.

Resonans Vi ser at massen m vil svinge med en amplitude A_{0} som avhenger av frekvensen ω på den ytre kraften. I figurene nedenfor er det vist noen eksempler, med henholdsvis liten (δ = ω_{0}/100), middels (δ = ω_{0}/10) og stor (δ = ω_{0}) demping. Amplituden A_{0} er plottet som funksjon av ω, og for alle kurvene har vi ω_{0} = 2:

Tilhørende kurver for fasevinkelen ϕ_{0} som funksjon av ω:

Her er det verdt å merke seg:

• Når den ytre kraften varierer med en frekvens ω (omtrent) lik systemets naturlige svingefrekvens ω_{0}, får vi størst amplitude på utsvinget x(t). Vi sier at vi har resonans.

• Har vi et system helt uten demping, δ = 0, vil A_{0}(ω_{0}) → ∞. Dette betyr at alt arbeidet som er utført av den ytre kraften F_{eks} har gått med til å øke oscillatorens energi. Og ettersom utgangspunktet var at vi hadde ventet en tid t ≫ 1/δ, som da innebærer t → ∞, må det bety en uendelig mengde tilført energi, og naturlig nok en amplitude som går mot uendelig.

• Massens hastighet er ẋ(t) = ωA_{0} cos(ωt+ϕ_{0}). Når ω = ω_{0}, er fasevinkelen ϕ_{0} = 0, slik at F_{eks}(t) og ẋ(t) svinger i fase. Da ser vi at tilført effekt

P (t) = F_{eks}(t) · ẋ(t) = ωA_{0}^{2} cos^{2} ωt

hele tiden er en positiv størrelse, og midlere effekt ⟨P ⟩ (midlet over en eller flere perioder) blir maksimal. Ikke uventet!

• Bredden på resonanskurven beskrives ved halvverdibredden Δω, og defineres som avstanden mellom de to verdiene av ω som gir A_{0} = A_{0}^{max}/\sqrt{2}. For systemer med svak demping, δ ≪ ω_{0}, finner en

\frac{Δω}{ω_{0}} ≃ \frac{1}{Q}

der Q var den tidligere nevnte godhetsfaktoren (evt kvalitetsfaktoren). Videre har vi at amplituden på resonans, relativt til amplituden for lave verdier av ω, blir

\frac{A_{0}(ω_{0})}{A_{0}(0)} = Q

Med andre ord, resonanskurven er enten høy og smal eller lav og bred, men slik at produktet av høyde og bredde (som omtrent tilsvarer arealet under resonanskurven) er omtrent konstant.

Det er mange ulike fysiske systemer som oppviser resonans-egenskaper: barn i huske (pendel), elektroner i et atom, soldaters taktfaste marsjering over ei bru (google Angers og 1850) osv osv.

Et spesielt interessant eksempel er en RCL-krets, dvs en seriekobling av en motstand R, en kapasitans C og en induktans L, der strømmen drives av en vekselspenningskilde V (t) = V_{0} cos ωt:

Bruk av Kirchhoffs spenningsregel (dvs: sum av alle spenningsfall rundt en lukket krets er lik null) gir ligningen

Lq̈ + Rq̇ + \frac{1}{C} q = V_{0} cos ωt

ettersom strømmen er I = dq/dt, slik at dI/dt = d^{2}q/dt^{2}. Fra før har vi ligningen

mẍ + bẋ + kx = F_{0} cos ωt

for det mekaniske svingesystemet. Men dette er jo helt tilsvarende ligninger! Med andre ord: Ladningen q på kondensatoren i RCL-kretsen svinger på samme måte som utsvinget x til massen i det mekaniske svingesystemet. Ved direkte sammenligning ser vi at m og L er analoge størrelser i de to systemene, og tilsvarende gjelder for k og 1/C, for b og R, for F_{0} og V_{0} og for ẋ (massens hastighet) og q̇ (strømmen i kretsen). Og siden det mekaniske svingesystemet har egenfrekvensen ω_{0} = \sqrt{k/m}, må den elektriske svingekretsen ha egenfrekvens ω_{0} = \sqrt{1/LC}. Og dersom resistansen R er liten (tilsvarende liten demping b i det mekaniske systemet), vil vi få spesielt stor strømstyrke hvis spenningskilden svinger med frekvens (omtrent) lik egenfrekvensen 1/\sqrt{LC}. Resonanskurven kan også for den elektriske svingekretsen karakteriseres ved hjelp av godhetsfaktoren Q. Ettersom vi definerte Q ≡ mω_{0}/b for det mekaniske systemet, finner vi nå

Q ≡ \frac{L · 1/\sqrt{LC}}{R} = \frac{\sqrt{L/C}}{R}