Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høsten 2006, uke 36

Mandag 04.09.06

Del II: BØLGER Innledning Bølger er forplantning av svingninger. Når en bølge forplanter seg i et materielt medium, svinger partikler fram og tilbake omkring en likevektsposisjon, men de forplanter seg ikke med bølgen. Det som forplanter seg med en propagerende bølge (”vandrebølge”) er energi og impuls (bevegelsesmengde).

Eksempler på bølger:

Type bølge  Hva svinger?  Svingeretning
Bølger på streng  Strengelementer  Transversal
Bølger i fjær  Fjærelementer  Transversal og/eller longitudinal
Lydbølger  Gassmolekyler (hvis gass) Longitudinal
Overflatebølger på væske Væskemolekyler  ”Kombinert”
Elektromagnetiske bølger Elektrisk og magnetisk felt Transversal

Transversale bølger: svingeretningen står vinkelrett på forplantningsretningen. Longitudinale bølger: svingeretningen er parallell med forplantningsretningen.

Harmonisk bølge: størrelser og begreper [FGT 14.3; YF 15.2; TM 15.2; AF 28.3; LL 10.2]

La oss bruke transversal bølge på en uendelig lang streng som eksempel:

Figuren over viser et øyeblikksbilde av en sinusbølge, der y(x, t) er utsvinget til strengelementet i posisjon x ved tidspunktet t. Amplituden er maksimalt utsving fra likevekt (y = 0). Pr definisjon er amplituden en positiv størrelse. Bølgelengden λ er avstanden mellom f.eks. to bølgetopper. Perioden T er tiden det tar for bølgemønsteret å bevege seg en distanse λ. Frekvensen ν = 1/T er antall svingninger pr tidsenhet som observeres hvis vi betrakter utsvinget y(x_{0}, t) som funksjon av tiden t i en bestemt posisjon x_{0}. Hastigheten til bølgen: v = Δx/Δt = λ/T = λν. Dette er hastigheten til f.eks. en bølgetopp i en uendelig lang sinusbølge. Den kalles gjerne fasehastigheten fordi den tilsvarer hastigheten som en bestemt fase (f.eks. en bølgetopp) av bølgen forplanter seg med. Vi bruker også begrepet bølgehastigheten for v. Partikkelhastigheten, i dette eksemplet v_{p} = dy/dt, har generelt ingen sammenheng med bølgehastigheten v, og er generelt også tallmessig ganske forskjellig fra v.

Dispersjon Dersom harmoniske bølger med ulik frekvens ν har ulik hastighet v, sier vi at vi har dispersjon.

Eksempler på dispersive bølger:

• overflatebølger på dypt vann

• elektromagnetiske bølger i faste stoffer

Eksempler på ikke-dispersive bølger:

• bølger på streng

• lydbølger

• elektromagnetiske bølger i vakuum

En ren sinusbølge med en frekvens har uendelig utstrekning. Fysiske bølgetog (evt. bølgepakker) med endelig utstrekning består av flere sinusbølger med ulike frekvenser. (Vi skal komme litt inn på det matematiske grunnlaget for dette senere i kurset, dvs fourieranalyse.)

En bølgepakke med bølgehastighet v uavhengig av frekvensen ν vil ikke endre sin form, fordi alle ”delbølgene” som bølgepakken er satt sammen av forplanter seg med samme hastighet.

En bølgepakke der v er ulik for ulike ν vil endre sin form og utstrekning, fordi delbølgene som bølgepakken er satt sammen av forplanter seg med ulike hastigheter. Et eksempel er vist i figuren nedenfor:

Matematisk beskrivelse av bølgebevegelse

[FGT 14.3,14.4; YF 15.3; TM 15.2; AF 28.3,28.4; LL 10.2]

Vi betrakter en endimensjonal harmonisk bølge som forplanter seg i positiv x−retning:

Utsvinget D ved t = 0 kan skrives slik:

D(x, t = 0) = D_{0} cos (\frac{2π}{λ} x)

Her er D_{0} bølgens maksimale utsving, dvs amplituden. Etter en tid t > 0 har bølgen forplantet seg en distanse vt i positiv x−retning. Dermed kan utsvinget ved tid t skrives slik:

D(x, t) = D_{0} cos (\frac{2π}{λ} (x − vt))

Fra før vet vi at

v = \frac{λ}{T} = λν = λ\frac{ω}{2π}

dvs

\frac{2π}{λ} v = ω

Vi innfører nå det såkalte bølgetallet (engelsk: wave number)

k ≡ \frac{2π}{λ}

(Alternative navn for k er sirkelrepetens eller angulært bølgetall.) Vi ser at enheten til k må bli m^{−1} (evt. radianer pr m). Vi kan nå skrive

D(x, t) = D_{0} cos(kx − ωt)

for en harmonisk bølge som forplanter seg med hastighet

v = \frac{λ}{T} = \frac{2π/k}{2π/ω} = \frac{ω}{k}

i positiv x−retning.

Dersom utsvinget D er i x−retning, har vi en longitudinal bølge. Det kan vi ”bake inn” matematisk ved å skrive

D(x, t) = x̂ D_{0} cos(kx − ωt)

der x̂ som vanlig angir enhetsvektor i x−retning.

Dersom utsvinget D står normalt på x−retningen, har vi en transversal bølge. Det kan vi uttrykke slik, der vi eksempelvis velger utsvinget i y−retningen:

D(x, t) = ŷD_{0} cos(kx − ωt)

Vi har ikke alltid maksimalt utsving i x = 0 ved t = 0. For en generell harmonisk bølge må vi derfor skrive

D(x, t) = D_{0} cos(kx − ωt + ϕ)

når den forplanter seg i positiv x−retning. Her kalles ϕ for fasekonstanten. Tilsvarende, for en harmonisk bølge som forplanter seg i negativ x−retning:

D(x, t) = D_{0} cos(kx + ωt + ϕ)

Vi kaller

kx ± ωt + ϕ

for bølgens fase.

Bølgeligning

[FGT 14.2; YF 15.3; TM 15.1; AF 28.4; LL 10.1]

Vi skal etter hvert se at en og samme ligning beskriver flere typer bølger. For bølger uten dispersjon og uten demping har vi:

\frac{∂^{2}D(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}D(x, t)}{∂t^{2}}

Dette er bølgeligningen i en dimensjon. Her er v fasehastigheten (evt. bølgehastigheten), og symbolet ∂ står for ”partiell derivert” og betyr at vi deriverer med hensyn på en av de variable mens de andre variable holdes fast. Eksempel:

\frac{∂}{∂x} cos(kx − ωt) = −k sin(kx − ωt)

Denne bølgeligningen, som er en 2. ordens partiell differensialligning, beskriver f.eks.:

• transversale bølger på streng, med D(x, t) = utsving for strengelement med posisjon x ved tid t

• lydbølger i en dimensjon, med D(x, t) = avvik fra likevekt i trykk eller tetthet i posisjon x ved tid t (men også her kan D representere partiklers utsving fra en likevektsposisjon)

• elektromagnetiske bølger i en dimensjon i vakuum, med D(x, t) = elektrisk eller magnetisk felt normalt på forplantningsretningen x

Den generelle løsning av denne bølgeligningen er:

D(x, t) = f(x − vt) + g(x + vt)

Her er f og g vilkårlige kontinuerlige og to ganger deriverbare funksjoner. Eksempler:

Harmonisk bølge (med ω = kv):

D(x, t) = A cos(kx − ωt)

Gaussformet bølgepuls (med a = en konstant med enhet m):

D(x, t) = D_{0} exp [−\frac{(x + vt)^{2}}{a^{2}} ]

Her er det første eksemplet en bølge som forplanter seg i positiv x−retning, mens det andre eksemplet er en bølge som forplanter seg i negativ x−retning.

Generelt (i det vi antar at v er en positiv størrelse):

f(x − vt) = bølge som forplanter seg i positiv x−retning:

g(x + vt) = bølge som forplanter seg i negativ x−retning:

Superposisjonsprinsippet Dersom D_{1}(x, t) og D_{2}(x, t) begge er løsninger av bølgeligningen, er også summen

D(x, t) = D_{1}(x, t) + D_{2}(x, t)

en løsning av bølgeligningen. Denne egenskapen gjelder for alle lineære homogene ordinære og partielle differensialligninger.

Onsdag 06.09.06

Transversale bølger på streng [FGT 14.2; YF 15.4; TM 15.1; AF 28.7; LL 10.1] Vi betrakter en streng som er spent opp mellom to faste punkter. Vi antar at strengen er uendelig lang (slik at vi kan snakke om rene harmoniske vandrebølger på strengen).

Antagelser:

• μ = strengens masse pr lengdeenhet [kg/m]

• S = den horisontale strekk-kraften [N]

• S ≫ mg, som gjør at vi kan se bort fra tyngdekraften

• strengen er fullstendig elastisk (dvs: den får ingen varig deformasjon)

• vi ser på små utsving y

• kun transversal bevegelse av strengelementer Vi ser på kreftene som virker på en liten bit av strengen, med lengde Δx:

Ingen bevegelse i x−retningen må bety at

S_{1x} + S_{2x} = 0

dvs

−S_{1} cos θ_{1} + S_{2} cos θ_{2} = 0

Og begge disse leddene må være lik den horisontale strekk-kraften S:

S = S_{1} cos θ_{1}

og

S = S_{2} cos θ_{2}

Newtons 2. lov gir for bevegelsen i y−retning:

S_{1y} + S_{2y} = mÿ

dvs

−S_{1} sin θ_{1} + S_{2} sin θ_{2} = mÿ

Vi dividerer denne ligningen med S:

\frac{S_{2} sin θ_{2}}{S_{2} cos θ_{2}} − \frac{S_{1} sin θ_{1}}{S_{1} cos θ_{1}} = \frac{mÿ}{S}

dvs

tan θ_{2} − tan θ_{1} = \frac{mÿ}{S}

Vi ser fra figuren at tan θ_{1} = strengens helning ved x og at tan θ_{2} = strengens helning ved x + Δx. Og helningen, det er jo det samme som den deriverte av y med hensyn på x. Vi har dermed:

(\frac{∂y}{∂x})_{x+Δx} − (\frac{∂y}{∂x})_{x} = \frac{μΔx}{S} \frac{∂^{2}y}{∂t^{2}}

der vi også har brukt at m = μΔx. Denne ligningen dividerer vi med Δx, hvoretter vi lar Δx → 0. Da blir venstre side av ligningen:

\frac{1}{Δx} [(\frac{∂y}{∂x})_{x+Δx} − (\frac{∂y}{∂x})_{x}] =_{Δx→0} \frac{∂^{2}y}{∂x^{2}}

og hele ligningen blir

\frac{∂^{2}y}{∂x^{2}} = \frac{μ}{S} \frac{∂^{2}y}{∂t^{2}}

Dermed blir konklusjonen at det transversale utsvinget y(x, t) på en streng som er strukket med en kraft S, og som har masse pr lengdeenhet μ, oppfyller bølgeligningen

\frac{∂^{2}y}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}y}{∂t^{2}}

med (konstant, dvs frekvensuavhengig) bølgehastighet v = \sqrt{S/μ}. Og fra før vet vi at den generelle løsningen av ligningen er

y(x, t) = f(x − vt) + g(x + vt)

der f er en bølge som forplanter seg i postiv x−retning, mens g er en bølge som forplanter seg i negativ x−retning.

Eksempel: En streng med masse m = 222 g strekkes med en kraft S = 8.5 N slik at dens lengde blir 8 m. Hva blir hastigheten til en bølge som forplanter seg langs strengen? Anta at en harmonisk bølge med amplitude 5 cm og frekvens 3 Hz forplanter seg langs strengen. Hva blir strengens maksimale transversale hastighet og akselerasjon?

Løsning: Strengens massetetthet:

μ = m/L = 222/8 ≃ 28 g/m

Det gir bølgehastigheten

v = \sqrt{8.5/0.028} ≃ 17.5 m/s

Utsvinget y(x, t) kan beskrives med funksjonen

y(x, t) = y_{0} cos(kx − ωt + ϕ)

Vertikal hastighet og akselerasjon blir da henholdsvis

ẏ(x, t) = ωy_{0} sin(kx − ωt + ϕ)

og

ÿ(x, t) = ω^{2}y_{0} cos(kx − ωt + ϕ)

Maksimal vertikal hastighet blir dermed

v_{y}^{max} = 2π · 3 · 0.05 = \frac{3π}{10} ≃ 0.94 m/s

og maksimal vertikal akselerasjon blir

a_{y}^{max} = 4π^{2} · 3^{2} · 0.05 = \frac{18π^{2}}{10} ≃ 18 m/s^{2}