FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2010.

Løsningsforslag til øving 10

Oppgave 1

Fra figuren ser vi at b/r = sin θ, dvs θ = arcsin(b/r). Da kan vi skrive α som en funksjon av støtparameteren b:

α(b) = 4 arcsin (\frac{b}{nr} ) − 2 arcsin (\frac{b}{r} )

Verdi av b som gir maksimal α finnes ved å derivere og sette lik null:

\frac{dα}{db} = \frac{4/nr}{\sqrt{1 − (b/nr)^{2}}} − \frac{2/r}{\sqrt{1 − (b/r)^{2}}} = 0

som gir

\frac{4}{n^{2}} (1 − \frac{b^{2}}{r^{2}} ) = 1 − \frac{b^{2}}{n^{2}r^{2}}

og dermed

b = r\sqrt{(4 − n^{2})/3}

Oppgave 2

Brytningsvinkelen θ_{2} kan maksimalt bli π/2, som tilsvarer sin θ_{2} = 1. Det betyr at transmisjon (evt refraksjon) inn i medium 2 ikke er mulig dersom innfallsvinkelen θ_{1} overskrider verdien

θ_{1}^{max} = arcsin (n_{2}/n_{1}) .

Eksempelvis er θ_{1}^{max} ≃ 42 grader for grenseflaten mellom luft (medium 2) og glass med brytningsindeks 1.5 (medium 1).

Oppgave 3 Fermats prinsipp og refleksjon: Veistrekningen fra A via O til B er

s = \sqrt{x^{2} + h^{2}} + \sqrt{(L − x)^{2} + h^{2}}

Hele veien ligger i medium 1, slik at lyshastigheten ikke endrer seg. Dermed blir det ett fett om vi minimerer tidsbruken eller veilengden. Vi finner minste veistrekning ved å derivere s mhp x og sette uttrykket lik null:

\frac{ds}{dx} = \frac{2x}{\sqrt{x^{2} + h^{2}}} − \frac{2(L − x)}{\sqrt{(L − x)^{2} + h^{2}}} = 0
⇒ 2x\sqrt{(L − x)^{2} + h^{2}} = 2(L − x)\sqrt{x^{2} + h^{2}}
⇒ 4x^{2}(L^{2} − 2Lx + x^{2} + h^{2}) = (4L^{2} − 8Lx + 4x^{2})(x^{2} + h^{2})
⇒ 4L^{2}h^{2} − 8Lxh^{2} = 0
⇒ x = L/2
⇒ θ_{i} = θ_{r}

Fermats prinsipp og brytning: Hastighet i medium 1 er v_{1} og i medium 2 v_{2}. Tidsforbruk fra A via O til B blir da

t = \frac{\sqrt{x^{2} + h_{1}^{2}}}{v_{1}} + \frac{\sqrt{(L − x)^{2} + h_{2}^{2}}}{v_{2}}

Finner minimal tid ved å derivere og sette lik null:

\frac{dt}{dx} = \frac{2x}{v_{1}\sqrt{x^{2} + h_{1}^{2}}} − \frac{2(L − x)}{v_{2}\sqrt{(L − x)^{2} + h_{2}^{2}}} = 0

Vi ser fra figuren at

sin θ_{1} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + h_{1}^{2}}}

mens

sin θ_{2} = \frac{L − x}{\sqrt{(L − x)^{2} + h_{2}^{2}}}

Dermed har vi uten videre

n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}

siden v_{1} = c/n_{1} og v_{2} = c/n_{2}.

Huygens’ prinsipp og refleksjon: Både AB og A’B’ er bølgefronter. Da må vi ha AA’ = BB’. Vi ser fra figuren i oppgaveteksten at

sin θ_{r} = \frac{AA′}{AB′}

og at

sin θ_{i} = \frac{BB′}{AB′}

Men da er

sin θ_{r} = sin θ_{i}

og

θ_{r} = θ_{i}

Huygens’ prinsipp og brytning: Også her er både AB og A’B’ bølgefronter. Da må tidsforbruket fra A til A’ være like stort som tidsforbruket fra B til B’, dvs

t_{AA′} = \frac{AA′}{v_{2}} = t_{BB′} = \frac{BB′}{v_{1}}

Fra figuren i oppgaveteksten ser vi at

sin θ_{1} = \frac{BB′}{AB′}

og at

sin θ_{2} = \frac{AA′}{AB′}

Dermed:

\frac{AB′ sin θ_{2}}{v_{2}} = \frac{AB′ sin θ_{1}}{v_{1}}

dvs

n_{2} sin θ_{2} = n_{1} sin θ_{1}

Oppgave 4

En frekvens 92.3 MHz tilsvarer bølgelengden

λ = c/ν = 3.25 m

Vi har med andre ord d = λ. Kriteriet for konstruktiv interferens mellom radiobølgene fra de to dipolantennene blir dermed

sin θ = m

som bare kan være oppfylt for m = 0, i retning Sverresborg, og for m = 1, i retning Ladehammeren. Fra figuren ser vi at retning mot Ila tilsvarer en vinkel θ ≃ 30^{∘}. Kriteriet for destruktiv interferens er nettopp

sin θ = m + 1/2 = 1/2

dvs θ = 30^{∘}. Du bør derfor ikke bosette deg i Ila.

Mulige tiltak for å gi intensitet i alle tre retninger:

• Dobbelt så stor avstand mellom antennene, dvs d = 2λ. Får da konstruktiv interferens nettopp i de tre aktuelle retningene.

• Mange antenner.

• ...

Oppgave 5

Lysets bølgelengde endres fra λ i luft til λ/n ≃ 3λ/4 i vann. Dermed blir avstanden mellom intensitetsmaksima på observasjonsskjermen mindre. Eksempelvis vil avbøyningsvinkelen som svarer til 1. ordens maksimum endres fra arcsin(λ/d) i luft til arcsin(3λ/4d) i vann. Her er d avstanden mellom de to spaltene.