FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2010.

Utdypende løsning på oppgave 4 i øving 6

Oppgave 4

Først den ”offisielle” løsningen: At vandretiden τ kun avhenger av strengens omløpsperiode T, og ikke av lengden L eller massen M, kan vi slå fast med ren dimensjonsanalyse: Problemet inneholder kun størrelsene T, M og L. Det går ikke an å lage størrelser med enhet s (sekund) ved å kombinere kg og m. Da gjenstår bare T. Bølgehastigheten er v = \sqrt{S/μ} = \sqrt{SL/M}. Snordraget S(r) i avstand r fra festepunktet er den kraften som skal til for å holde strengbiten mellom r og L i sirkulær bane med vinkelfrekvens ω = 2π/T, dvs akselerasjon a(r′) = ω^{2}r′:

S(r) = ∫ a dm = ∫_{r}^{L} ω^{2}r′ \frac{M}{L} dr′
= \frac{ω^{2}M}{2L} (L^{2} − r^{2})

Med S(r) på plass skulle resten være grei skuring! Bølgehastigheten blir

v(r) = \sqrt{S(r)L/M} = \frac{ω}{\sqrt{2}}\sqrt{L^{2} − r^{2}} = \frac{\sqrt{2}π}{T} \sqrt{L^{2} − r^{2}}

Tiden som en bølgepuls bruker fra festepunktet til strengens ende blir dermed

τ = ∫ \frac{dr′}{v}
= \frac{T}{\sqrt{2}π} ∫_{0}^{L} \frac{dr′}{\sqrt{L^{2} − r^{′2}}}
= \frac{T}{2\sqrt{2}}

Her er en alternativ måte å tenke på: Vi betrakter en liten bit av strengen, mellom r og r+dr, og med masse dm = dr·M/L. På denne lille biten virker det en kraft innover mot sentrum på grenseflaten ved r (fra masseelementet rett innenfor) og en kraft utover på grenseflaten ved r + dr (fra masseelementet rett utenfor). Disse to kreftene må nettopp være snordraget S(r) og S(r + dr), slik at nettokraften, innover, på vårt lille masseelement må være:

dF = S(r) − S(r + dr).

Ifølge Newtons 2. lov har vi

dF = dm · a = \frac{M}{L} drω^{2}r.

Den totale kraften på strengbiten som befinner seg mellom r og L blir da

F (r) = ∫ dF = \frac{Mω^{2}}{L} ∫_{r}^{L} r dr = \frac{Mω^{2}}{2L} (L^{2} − r^{2}) .

Men denne kraften F (r) må nettopp tilsvare snordraget i avstand r, dvs F (r) = S(r). Dvs, snordraget i r er lik nettokraften på strengen mellom r og L. (Del f.eks. opp biten mellom r og L i små biter med lengde dr. I hver grenseflate mellom slike små biter virker biten til venstre på den til høyre med en like stor men motsatt rettet kraft som omvendt, Newtons 3. lov, slik at kraften i den venstre enden, S(r), er lik total kraft på hele strengen utenfor r.) Med S(r) på plass henvises til avslutningen på den offisielle versjonen.