FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2010.

Løsningsforslag til øving 7

Oppgave 1 Fasehastigheten:

v = ω/k = \sqrt{\frac{g}{k} + \frac{γk}{ρ}} = \sqrt{\frac{gλ}{2π} + \frac{2πγ}{ρλ}}

Gruppehastigheten:

v_{g} = dω/dk = \frac{g + 3γk^{2}/ρ}{2\sqrt{gk + γk^{3}/ρ}} = \frac{gλ^{2} + 12π^{2}γ/ρ}{\sqrt{8πgλ^{3} + 32π^{3}γλ/ρ}}

Korte bølgelengder:

v ≃ \sqrt{2πγ/ρλ}

v_{g} ≃ \sqrt{\frac{144π^{4}γ^{2}/ρ^{2}}{32π^{3}γλ/ρ}} = \sqrt{9πγ/2ρλ} = \frac{3}{2}v

Lange bølgelengder:

v ≃ \sqrt{gλ/2π}

v_{g} ≃ \sqrt{g^{2}λ/8πg} = \sqrt{gλ/8π} = \frac{1}{2}v

Innsetting av tallverdier gir:

v = \sqrt{1.560λ + 4.587 · 10^{−4}/λ}

v_{g} = \frac{9.8λ^{2} + 8.646 · 10^{−3}}{\sqrt{246.3λ^{3} + 0.07243λ}}

Disse uttrykkene gir v og v_{g} i enheten m/s med λ i enheten m.

Oppgave 2

a) Vi innfører x = kd. Fasehastigheten er:

v = ω/k = \sqrt{\frac{g}{k} tanh kd} = \sqrt{gd}\sqrt{\frac{tanh x}{x}}

Gruppehastigheten:

v_{g} = dω/dk = \frac{1}{2ω} \frac{dω^{2}}{dk} = \frac{g tanh kd + gkd/ cosh^{2} kd}{2\sqrt{gk tanh kd}}

Her er det flere måter å skrive v_{g} på, for eksempel v_{g} = \frac{\sqrt{gd}}{2} (\sqrt{\frac{sinh x}{x cosh x}} + \sqrt{\frac{x}{sinh x cosh^{3} x}})

Fra figuren ser vi at forskjellen mellom v og v_{g} er mindre enn 5 % så lenge kd er mindre enn 1/3, sånn omtrent. Med andre ord,

d < λ/6π ∼ λ/20

synes som en fornuftig grense for å snakke om grunt vann.

b) På dypt vann blir dispersjonsrelasjonen for tyngdebølger

ω = \sqrt{gk}

ettersom tanh kd ≃ 1 når kd ≫ 1. Når tyngdekrefter dominerer, blir dispersjonsrelasjonen for overflatebølger på dypt vann

ω = \sqrt{gk}

dvs den samme.