FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2013.

Løsningsforslag til øving 6

Oppgave 1

a) Siden vi er ute etter sammenhenger for adiabatiske prosesser, er det vel naturlig å ta utgangspunkt i d̄Q = 0. Fra 1. hovedsetning:

d̄Q = dU + p dV = (\frac{∂U}{∂T} )_{V} dT + (\frac{∂U}{∂V} )_{T} dV + p dV
= C_{V} dT + T (\frac{∂p}{∂T} )_{V} dV.

Her har vi brukt tipset i oppgaveteksten (PCH 4.18!) til å kvitte oss med (∂U/∂V)_{T}. Van der Waals’ tilstandsligning gir

T (\frac{∂p}{∂T} )_{V} = \frac{RT}{V − b}.

Dermed:

0 = d̄Q = C_{V} dT + \frac{RT}{V − b} dV
C_{V} \frac{dT}{T} = −R\frac{dV}{V − b}
C_{V} ln T = −R ln(V − b) + konst
T (V − b)^{R/C_{V}} = konst

Her kan T uttrykkes ved p og V ved å bruke tilstandsligningen, som gir

(p + \frac{a}{V^{2}} ) (V − b)^{1+R/C_{V}} = konst.

I grensen C_{V} → ∞ blir eksponenten i disse to uttrykkene hhv 0 og 1, som gir hhv T = konst og (p + a/V^{2})(V − b) = konst. Men dermed er jo adiabatene blitt til isotermer! Dette kan forstås ved at energien som trengs til å utføre arbeidet blir tatt fra den indre energien, og når C_{V} er meget stor, blir temperaturstigningen liten for en gitt energiendring. (Med C_{V} = ∞ blir endringen i T lik 0. Følgelig må da adiabatene bli til isotermer.)

b) Her vil det være enklest å bestemme arbeidet ved å regne ut tilført varmemengde Q_{2} og avgitt varmemengde Q_{1}(< 0) langs isotermene ab og cd. Da må man ta hensyn til at indre energi endrer seg med V. Med tilstandsligningen finner man

(\frac{∂U}{∂V} )_{T} = T (\frac{∂p}{∂T} )_{V} − p = \frac{a}{V^{2}} .

Integrasjon med hensyn på V gir

U = −\frac{a}{V} + f(T).

Arbeidet langs isotermene blir

W_{ab} = ∫_{V_{a}}^{V_{b}} p dV
= ∫_{V_{a}}^{V_{b}} (\frac{RT_{2}}{V − b} − \frac{a}{V^{2}} ) dV
= RT_{2} ln \frac{V_{b} − b}{V_{a} − b} + a (\frac{1}{V_{b}} − \frac{1}{V_{a}} )

og tilsvarende

W_{ab} = RT_{1} ln \frac{V_{d} − b}{V_{c} − b} + a (\frac{1}{V_{d}} − \frac{1}{V_{c}} )

Tilført og avgitt varmemengde blir dermed

Q_{2} = W_{ab} + U_{b} − U_{a} = RT_{2} ln \frac{V_{b} − b}{V_{a} − b}

og

Q_{1} = W_{cd} + U_{d} − U_{c} = RT_{1} ln \frac{V_{d} − b}{V_{c} − b}.

Vi trenger en sammenheng mellom Q_{2} og Q_{1} for å fastlegge virkningsgraden. Adiabatligningen fra punkt a) gir:

T_{2}(V_{b} − b)^{R/C_{V}} = T_{1}(V_{c} − b)^{R/C_{V}}
T_{2}(V_{a} − b)^{R/C_{V}} = T_{1}(V_{d} − b)^{R/C_{V}}

Vi dividerer disse to med hverandre. Da forsvinner temperaturene, og vi står igjen med

(\frac{V_{b} − b}{V_{a} − b})^{R/C_{V}} = (\frac{V_{c} − b}{V_{d} − b})^{R/C_{V}} ,

eller

\frac{V_{b} − b}{V_{a} − b} = \frac{V_{c} − b}{V_{d} − b}.

Innsetting i uttrykkene for Q_{2} og Q_{1} gir nå

Q_{1} = −\frac{T_{1}}{T_{2}} Q_{2}.

Energibevarelse gir

W = Q_{2} + Q_{1} = (1 − \frac{T_{1}}{T_{2}} ) Q_{2}

siden indre energi som kjent er uendret når maskinen er tilbake til utgangspunktet. Virkningsgraden blir dermed

η = \frac{W}{Q_{2}} = 1 − \frac{T_{1}}{T_{2}} .

Oppgave 2

For å bestemme virkningsgraden trenger vi uttrykk for tilført varme Q_{1} ved lav-volum-isokoren V_{1} og avgitt varme Q_{2} ved høy-volum-isokoren V_{2} = κV_{1}. Siden prosessene er isokore, dvs konstant volum, blir de to varmemengdene

Q_{1} = C_{V} (T_{3} − T_{2})

og

Q_{2} = C_{V} (T_{1} − T_{4}).

Her er T_{3} og T_{2} hhv høy og lav temperatur for isokoren med volum V_{1}, mens T_{4} og T_{1} er høy og lav temperatur for isokoren med volum V_{2}. Adiabatligningen T V^{γ−1} = konst knytter temperaturene sammen:

T_{1}(κV_{1})^{γ−1} = T_{2}V_{1}^{γ−1}

og

T_{4}(κV_{1})^{γ−1} = T_{3}V_{1}^{γ−1}.

Virkningsgraden er

η = \frac{W}{Q_{1}} = \frac{Q_{1} + Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{T_{3} − T_{2} + T_{1} − T_{4}}{T_{3} − T_{2}} .

Her kan (f.eks) T_{2} og T_{3} elimineres via adiabatligningene ovenfor, og vi finner

η = \frac{(T_{4} − T_{1})(κ^{γ−1} − 1)}{(T_{4} − T_{1})κ^{γ−1}}
= 1 − κ^{1−γ}.

Siden det ikke blir tilført varme eller utført arbeid, vil den indre energien bli uendret. Vi trenger da den indre energi som funksjon av T og V. Som i oppgave 1 kan vi benytte

(\frac{∂U}{∂V} )_{T} = T (\frac{∂p}{∂T} )_{V} − p = \frac{a}{V^{2}} ,

som integrert gir U = f(T) − a/V. Integrasjonskonstanten f(T) bestemmes ved at varmekapasiteten antas konstant, C_{V} = 12.6 J/K, slik at f(T) = C_{V} T og dermed

U = C_{V} T − a/V.

Uendret energi, U_{1} = U_{2}, gir dermed

C_{V} T_{1} − a/V_{1} = C_{V} T_{2} − a/V_{2}.

Temperaturendringen blir da

T_{2} − T_{1} = \frac{a}{C_{V}} (\frac{1}{V_{2}} − \frac{1}{V_{1}} ) = −5.4 K.