FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2013. Veiledning: 22. og 25. februar. Innleveringsfrist: Onsdag 27. februar kl 14.

Øving 6

Oppgave 1

a) Et mol av en gass adlyder van der Waals’ tilstandsligning

p = \frac{RT}{V − b} − \frac{a}{V^{2}} ,

der a og b er konstanter. Gassen har konstant varmekapasitet C_{V}. Vis at ved reversible adiabatiske prosesser gjelder

T (V − b)^{R/C_{V}} = konst og (p + \frac{a}{V^{2}} )(V − b)^{1+R/C_{V}} = konst.

[Tips: (∂U/∂V)_{T} = T (∂p/∂T)_{V} − p] Vis at i grensen av meget stor C_{V} faller disse adiabatene sammen med isotermene. Forklar fysikken bak dette.

b) En student som ser på generelle teoremer med skepsis, har problemer med å godta at virkningsgraden for en Carnotmaskin er uavhengig av arbeidssubstansen. ”Arbeidet må jo avhenge av isotermens form”, sier han. For å overbevise ham bruker du ovennevnte van der Waals-gass i Carnotmaskinen. Arbeidssyklusen, definert ved de to temperaturene T_{1} og T_{2} og volumene V_{a} og V_{b}, er skissert på figuren. Regn ut arbeidet W pr syklus, og bestem så virkningsgraden. [Hint: Her vil det være enklest å regne ut W som forskjellen mellom tilført og avgitt varme.]

Oppgave 2

Otto-prosessen er en idealisert syklus for bensinmotorer. Den består av to isokore og to adiabatiske trinn. Tegn opp kretsprosessen i et pV -diagram. Regn ut virkningsgraden η for en slik prosess. Anta reversible prosesser, ideell gass som arbeidssubstans, og konstante varmekapasiteter. Vis at virkningsgraden kan uttrykkes ved hjelp av kompresjonsforholdet κ = V_{2}/V_{1}, som η = 1 − κ^{1−γ}, der γ = C_{p}/C_{V} (adiabatkonstanten). Her er V_{2} og V_{1} < V_{2} gassens volum i de to isokore delprosessene. Varme tilføres ved V_{1} og avgis ved V_{2}.

Oppgave 3

Et mol Ar (argon), som er en edelgass, ekspanderer fritt fra volumet V_{1} = 1.0 · 10^{−3} m^{3} til volumet V_{2} = 2.0 · 10^{−3} m^{3}. (Ved denne ekspansjonen blir det altså ikke utført noe arbeid mot ytre krefter.) Beregn endringen i temperaturen til gassen på grunn av ekspansjonen når det antas at Ar følger van der Waals’ tilstandsligning,

p = \frac{RT}{V − b} − \frac{a}{V^{2}} .

For Ar er a = 0.136 Nm^{4}/mol^{2}, mens varmekapasiteten ved konstant volum er C_{V} = 12.6 J/K. (Svar: −5.4 K. Se også tipset i oppgave 1a.)