FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2013.

Løsningsforslag til øving 7

Oppgave 1

a) Avgitt varme fra omgivelsene (varmeplata) til systemet (kasserollen med vann) er

Q = ∫ d̄Q = ∫ C_{p} dT = C_{p}(T_{2} − T_{1}).

Her er C_{p} = c_{p} · m = 4.184 kJ/K systemets varmekapasitet, i det vi ser bort fra kasserollens bidrag til C_{p}, som angitt i oppgaveteksten. Videre er T_{2} = 373 K temperaturen til varmeplata, mens T_{1} = 293 K er starttemperaturen til vannet.

i) Omgivelsene avgir varme ved konstant temperatur T_{2} = 373 K. Entropiendringen til omgivelsene blir dermed

ΔS_{o} = −Q/T_{2} = −C_{p}(T_{2} − T_{1})/T_{2} = −4.184 · 80/373 = −0.90 kJ/K.

ii) Vannet mottar varme, ikke ved konstant temperatur, men ved stadig økende temperatur. Dets entropiendring må derfor bestemmes ved integrasjon:

ΔS_{v} = ∫ dS = ∫ \frac{d̄Q}{T} = ∫_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{C_{p} dT}{T} = C_{p} ln(T_{2}/T_{1}),

som med T_{2} = 373 K og T_{1} = 293 K gir ΔS_{v} = 4.184 ln(373/293) = 1.01 kJ/K. iii) Total entropiendring for omgivelser pluss system blir da

ΔS = ΔS_{o} + ΔS_{v} = −0.90 + 1.01 = 0.11 kJ/K.

b) Den første varmeplata avgir varmemengden Q_{3} = C_{p}(T_{3} − T_{1}) ved den konstante temperaturen T_{3} = 323 K, og varmer med det opp vannet fra starttemperaturen T_{1} = 293 K til ”mellomtemperaturen” T_{3}. Dernest avgir den varmeste varmeplata varmemengden Q_{2} = C_{p}(T_{2} − T_{3}) ved den konstante temperaturen T_{2} = 373 K, og varmer med det opp vannet fra T_{3} til T_{2}.

i) Tilsvarende punkt a) finner vi entropiendringen til omgivelsene (dvs de to varmeplatene samlet):

ΔS_{o} = −Q_{3}/T_{3} − Q_{2}/T_{2} = −C_{p} (\frac{T_{3} − T_{1}}{T_{3}} + \frac{T_{2} − T_{3}}{T_{2}} ) = −4.184 · (\frac{30}{323} + \frac{50}{373}) = −0.95 kJ/K.

ii) Vannets entropiendring bestemmes ved å integrered̄Q/T, først fra T_{1} til T_{3}, og deretter fra T_{3} til T_{2}, med andre ord totalt sett fra T_{1} til T_{2}. Det må gi samme entropiendring som funnet under punkt a): ΔS_{v} = 1.01 kJ/K. iii) Total entropiendring:

ΔS = ΔS_{o} + ΔS_{v} = −0.95 + 1.01 = 60 J/K.

c) Med uendelig mange varmeplater som er trinnvis varmere kan det hele tiden være (tilnærmet) termisk likevekt mellom varmeplata og vannet, under forutsetning av at oppvarmingen går tilstrekkelig langsomt (”uendelig langsomt”). Dette blir da en reversibel prosess, siden den kan reverseres ved at vannet kan avkjøles ved å føre varmen tilbake til varmeplatene, siden det hele tiden er temperaturlikevekt mellom vannet og platene. Med slik likevekt underveis vil entropiendringen i vannet presis oppveies av entropiendringen i omgivelsene, slik at i)

ΔS_{o} = −C_{p} ∫_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{dT}{T} = −C_{p} ln(T_{2}/T_{1}) = −1.01 kJ/K.

ΔS_{v} = 1.01 kJ/K.

iii) ΔS = 0

Oppgave 2

For en reversibel kretsprosess vil entropien være uendret. (Hvis prosessen er irreversibel, vil entropien øke.) Varmemengdene Q_{2} og Q_{1} tilføres systemet hhv ved temperaturene T_{2} og T_{1}. Dernest avgis varmen Q_{0} ved omgivelsenes temperatur T_{0}. Energibevarelse gir

Q_{0} = Q_{1} + Q_{2}.

Uendret entropi innebærer da at

0 = ∑_{i} ΔS_{i} = \frac{Q_{2}}{T_{2}} + \frac{Q_{1}}{T_{1}} − \frac{Q_{0}}{T_{0}} ,

dvs

\frac{Q_{2}}{T_{2}} + \frac{Q_{1}}{T_{1}} = \frac{Q_{1} + Q_{2}}{T_{0}} ,

eller

Q_{1} (\frac{1}{T_{1}} − \frac{1}{T_{0}} ) = Q_{2} (\frac{1}{T_{0}} − \frac{1}{T_{2}} ) .

Maksimal virkningsgrad er derfor

ν = \frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{T_{1}(T_{2} − T_{0})}{T_{2}(T_{0} − T_{1})}.

En alternativ framgangsmåte er som følger: Prosessen kan ses på som en Carnot-maskin som opererer mellom temperaturene T_{2} og T_{0} kombinert med en kjølemaskin som opererer mellom T_{1} og T_{0}. Dermed:

ν = \frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{W}{Q_{2}} · \frac{Q_{1}}{W} = \frac{T_{2} − T_{0}}{T_{2}} · \frac{T_{1}}{T_{0} − T_{1}} = \frac{T_{1}(T_{2} − T_{0})}{T_{2}(T_{0} − T_{1})}.

Oppgave 3

Et forslag til MATLAB-program, lopper.m, er lagt ut på hjemmesiden. Verdien for c: Med en stor N vil første tidssteg (med kun ett loppehopp) tilsvare at ct ≪ 1, slik at

N_{A}(t) ≃ \frac{N}{2} (1 + 1 − 2ct) = N − Nct.

Med tallverdi 1 på tidssteget skal vi nå ha N_{A}(1) = N − 1, dvs

N − 1 = N − Nc,

som betyr at c = 1/N. Figurene nedenfor viser eksempler med N = 5 og N = 5000:

3