FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2013.

Løsningsforslag til øving 9

Oppgave 1

a) Den termodynamiske identitet, T dS = dU + pdV, kombinert med G = U − T S + pV, dvs dG = dU − T dW − SdT + pdV + V dp, gir dG = −SdT + V dp, som betyr at −S = (∂G/∂T)_{p} og V = (∂G/∂p)_{T}. Derivasjon av −S mhp p, derivasjon av V mhp T og likhet mellom de to resulterende andrederiverte av G på høyre side viser at

(\frac{∂S}{∂p} )_{T} = − (\frac{∂V}{∂T} )_{p} .

b) Arbeid utført på kobberblokken:

W = − ∫_{V_{1}}^{V_{2}} pdV = − ∫_{p_{1}}^{p_{2}} p (\frac{∂V}{∂p} )_{T} dp
= κ_{T} V ∫_{p_{1}}^{p_{2}} pdp = \frac{1}{2}κ_{T} V (p_{2}^{2} − p_{1}^{2}).

Med tallverdier gitt i oppgaveteksten gir dette W = 0.061 J.

c) Med resultatet fra punkt a og med (∂V/∂T)_{p} igjen antatt konstant:

dS = − (\frac{∂V}{∂T} )_{p} dp = −κ_{V} V dp.

Integrasjon på begge sider, med V (tilnærmet) konstant, gir entropiendringen

ΔS = S_{2} − S_{1} = −κ_{V} V (p_{2} − p_{1}) = −6.55 mJ/K.

Endringen i indre energi er

ΔU = Q + W = T ΔS + W = −0.59 J.

Oppgave 2

a) Maksimalt arbeid er gitt ved

W_{max} = T_{0}ΔS − ΔU − p_{0}ΔV = −ΔG.

For ideell gass har vi tidligere vist at

S = C_{V} ln T + nR ln V

så med ΔV = 0 får en

ΔS = S_{0} − S = C_{V} ln(T_{0}/T).

For ideell gass er C_{V} konstant og U er uavhengig av volumet. Dermed er endringen i indre energi

ΔU = U_{0} − U = C_{V} (T_{0} − T).

Dermed:

W_{max} = C_{V} (T − T_{0}) − C_{V} T_{0} ln(T/T_{0}).

b) For toatomig ideell gass er C_{V} = 5nR/2, dvs 5R/2 for ett mol gass (n = 1). Varme avgitt til omgivelsene blir

Q_{0} = −Q = −ΔU − W_{max} = −T_{0}ΔS = C_{V} T_{0} ln(T/T_{0}) = 1.47 kJ.

Maksimalt arbeid:

W_{max} = −ΔU − Q_{0} = 193 J.

c) Vi kan drive en Carnotmaskin med varmen som trekkes ut av den ideelle gassen. Omgivelsene er da lavtemperaturreservoaret, med fast temperatur T_{0}, mens den ideelle gassen er høytemperaturreservoaret, med varierende temperatur τ, der τ avtar fra T til T_{0}. Når gassen avkjøles fra τ til τ + dτ, avgis varmen dQ = −C_{V} dτ til omgivelsene (dτ < 0). Virkningsgraden er η(τ) = 1−T_{0}/τ, slik at dW = (1−T_{0}/τ)(−C_{V} dτ). Utført arbeid blir:

W = ∫ dW = − ∫_{T}^{T_{0}}(1 − T_{0}/τ)C_{V} dτ = C_{V} (T − T_{0}) − C_{V} T_{0} ln(T/T_{0}).

d) Ved adiabatisk ekspansjon er pV^{γ} = konstant og T V^{γ−1} = konstant (med γ = C_{p}/C_{V}) for ideell gass, og vi har dessuten pV = nRT. Dermed:

W_{a} = ∫_{V}^{V_{0}} p_{1}dV_{1} = ∫_{V}^{V_{0}} p(V/V_{1})^{γ}dV_{1}
= \frac{pV}{γ − 1}[−(V_{1}/V_{0})^{γ−1} + 1] = \frac{nRT}{γ − 1}(−T_{0}/T + 1) = C_{V} (T − T_{0}).

Ved isoterm kompresjon med temperatur T_{0} er pV = p_{1}V_{1} = p_{0}V_{0} = nRT_{0}, slik at

W_{i} = ∫_{V_{0}}^{V} p_{1}dV_{1} = nRT_{0} ∫_{V_{0}}^{V} \frac{dV_{1}}{V_{1}}
= nRT_{0} ln(V/V_{0}) = \frac{nRT_{0}}{γ − 1} ln(V/V_{0})^{γ−1} = −C_{V} T_{0} ln(T/T_{0}).

(Her er V/V_{0} skrevet om til (V/V_{0})^{(γ−1)/(γ−1)} i omskrivingen i siste linje, for å kunne innføre T/T_{0}. Og faktoren γ − 1 kan skrives som C_{p}/C_{V} − 1 = (C_{p} − C_{V})/C_{V} = nR/C_{V}. Vi ser at summen av W_{a} og W_{i} tilsvarer W_{max}.

Oppgave 3

a) Med gass, og arbeid pdv, har vi df = du − T dσ − σdT = −pdv − σdT, som betyr at σ = −(∂f/∂T)_{p} = +k∂(T ln z)/∂T. Konstant p i gass-systemet er analogt til konstant magnetfelt h i et magnetisk system, men temperaturen T opptrer på samme vis uansett type system, så uttrykket for entropien σ blir det samme.

b) Den deriverte av cosh x er sinh x, og tanh x = sinh x/ cosh x. Dermed:

σ = k \frac{∂}{∂T} [T ln (2 cosh βh)]
= k [ln 2 + ln cosh βh + T \frac{1}{2 cosh βh} · 2 sinh βh · (−h/kT^{2})]
= k [ln 2 + ln cosh βh − βh tanh βh] .

Dvs, en funksjon av produktet βh, som antydet i oppgaveteksten. Hvis vi nå spør ”hva er σ som funksjon av m og T?” (analogt til σ(V, T) i gass-system), innser vi at σ blir en funksjon av kun m, dvs uavhengig av T, siden m = m(βh). For å bestemme funksjonen σ(m) må vi invertere m(βh), dvs bestemme funksjonen y(m), med y ≡ βh. Vi har tanh x = (z − 1/z)/(z + 1/z) = (z^{2} − 1)/(z^{2} + 1), der vi har innført z = e^{x}. Dermed:

m = \frac{z^{2} − 1}{z^{2} + 1}
(z^{2} + 1)m = z^{2} − 1
z^{2} = \frac{1 + m}{1 − m}
x = βh = ln \sqrt{\frac{1 + m}{1 − m}} = \frac{1}{2} ln \frac{1 + m}{1 − m}.

Vi trenger også cosh x uttrykt ved m:

m = tanh x = \frac{sinh x}{cosh x} = \frac{\sqrt{cosh^{2} x − 1}}{cosh x}
⇒ m^{2} cosh^{2} x = cosh^{2} x − 1
⇒ cosh x = \frac{1}{\sqrt{1 − m^{2}}} .

Dermed:

σ = k [ln 2 − \frac{1}{2} ln(1 + m) − \frac{1}{2} ln(1 − m) − \frac{1}{2}m ln(1 + m) + \frac{1}{2}m ln(1 − m)]
= k [ln 2 − \frac{1}{2}(1 + m) ln(1 + m) − \frac{1}{2}(1 − m) ln(1 − m)] ,

som vi skulle vise.

c) Antall mikrotilstander W i et system med i alt N spinn og et antall N_{+} spinn som peker med magnetfeltet og et antall N_{−} spinn som peker mot magnetfeltet, må være bestemt ved hvor mange ulike måter vi kan ”trekke” N_{+} med spinn ”opp” og N_{−} med spinn ”ned”, dvs

W = \frac{N!}{N_{+}!N_{−}!}.

Og vi har sammenhengene N = N_{+} + N_{−} og Nm = N_{+} − N_{−}, som gir

N_{+} = \frac{1}{2}(1 + m)N og N_{−} = \frac{1}{2}(1 − m)N.

Med Boltzmanns prinsipp blir entropien følgelig

S = k ln W = k(ln N! − ln N_{+}! − ln N_{−}!)
= k(N ln N − N − (N_{+} ln N_{+} − N_{+}) − (N_{−} ln N_{−} − N_{−}))
= k(−N_{+} ln \frac{N_{+}}{N} − N_{−} ln \frac{N_{−}}{N})
= kN(−\frac{1}{2}(1 + m) ln((1 + m)/2) − \frac{1}{2}(1 − m) ln((1 − m)/2))
= Nk [ln 2 − \frac{1}{2}(1 + m) ln(1 + m) − \frac{1}{2}(1 − m) ln(1 − m)] ,

dvs det samme som funnet i punkt b. [Spesialtilfeller: Hvis T er forskjellig fra null, vil h = 0 gi m = 0, som er rimelig: Like stor sjanse for spinn opp og spinn ned, og i middel null magnetisk moment pr spinn. Uttrykket for σ gir σ(0) = k ln 2, som er rimelig: Med h = 0 er det W = 2 like sannsynlige mikrotilstander pr spinn. Den andre ytterlighet er at βh ≫ 1 (evt βh ≪ −1), dvs magnetfeltet er så sterkt at alle spinn foretrekker å ligge i samme retning som det påtrykte feltet. Da blir m = tanh βh ≃ 1 (evt m ≃ −1 hvis h < 0), og entropien blir σ(1) = k(ln 2 − (1/2) · 2 ln 2 − (1/2) · 0) = 0. (Det siste leddet i parentesen blir null fordi x går raskere mot null enn ln x går mot minus uendelig når x går mot null.) Igjen et rimelig resultat: Med alle spinn i samme retning er det kun W = 1 mikrotilstand som er mulig.]

d) Når magnetfeltet h skrus på isotermt, vil magnetiseringen m = tanh βh øke. Når så magnetfeltet slås av igjen, uten termisk kobling til omgivelsene, vil systemets entropi ikke endre seg, ettersom σ bare avhenger av m. Uendret magnetisering, m_{1} = m_{2} betyr tanh β_{1}h_{1} = tanh β_{2}h_{2}, og dermed β_{1}h_{1} = β_{2}h_{2}, eller

T_{1} = T_{2}h_{1}/h_{2} < T_{2}.