FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2014.

Løsningsforslag til øving 3

Oppgave 1

I løpet av et tidsrom dt mottar motstanden energimengden P dt. Denne energien dissiperes i motstanden, som dermed varmes opp (”Joule heating”), dvs d̄Q = P dt. Samtidig er d̄Q = C_{p} dT, slik at

C_{p} = P \frac{dt}{dT} = \frac{P}{dT/dt}.

Derivasjon av den oppgitte T (t) gir

\frac{dT}{dt} = \frac{T_{0}a}{4[1 + a(t − t_{0})]^{3/4}} = \frac{T_{0}^{4}a/4}{T_{0}^{3}[1 + a(t − t_{0})]^{3/4}} = \frac{T_{0}a}{4} \frac{T_{0}^{3}}{T^{3}} ,

slik at varmekapasiteten, som funksjon av temperaturen, blir

C_{p} = \frac{4P}{aT_{0}} (\frac{T}{T_{0}} )^{3} ,

dvs proporsjonal med T^{3}, typisk temperaturavhengighet til varmekapasiteten for faste stoffer ved lave temperaturer. Dette kan du lære mer om i emnet Faste stoffers fysikk.

Oppgave 2

Fra definisjonen av energienheten cal (kalori) har vi direkte at c_{p} = 1 cal/gK for vann. Luft består nesten utelukkende av 2-atomige molekyler, og gjennomsnittlig molar masse er ca 29 g/mol. Dermed er (med R = 8.314 i enheten J/mol K) c_{p} = (7R/2)/(29 · 4.184) cal/gK = 0.24 cal/gK for luft. Molar varmekapasitet for metaller er ca 3R, så med molar masse 55.9 g/mol har vi c_{p} ≃ 3R/(55.9 · 4.184) cal/gK = 0.11 cal/gK for jern. Med andre ord, c_{p}(vann) ≃ 4c_{p}(luft) ≃ 9c_{p}(jern).

Oppgave 3

Siden prosessen antas å være adiabatisk og reversibel, kan adiabatligningene for ideell gass benyttes. Her har vi bruk for

pT^{−γ/(γ−1)} = konstant,

eventuelt

T p^{−κ} = T_{0}p_{0}^{−κ}, dvs T = T_{0} (\frac{p}{p_{0}} )^{κ} ,

med κ = (γ − 1)/γ. Her er trykkdifferansen Δp = p − p_{0} liten (i forhold til p_{0}), slik at temperaturendringen ΔT = T − T_{0} blir

ΔT = T − T_{0} = T_{0} [(\frac{p}{p_{0}} )^{κ} − 1]
= T_{0} [(\frac{p_{0} + Δp}{p_{0}})^{κ} − 1]
= T_{0} [(1 + \frac{Δp}{p_{0}})^{κ} − 1]
≃ T_{0} · κ · \frac{Δp}{p_{0}},

der vi har rekkeutviklet til laveste orden i den lille størrelsen Δp/p_{0}. (Dette er selvsagt ikke påkrevd; en kan godt bare sette inn tallverdier og trykke i vei på kalkulatoren.) Med γ = 7/5 for luft blir κ = 2/7, slik at

ΔT ≃ 293 · \frac{2}{7} · (\frac{−8.9}{760}) K ≃ −1K.

Her har vi brukt at 1 atm = 760 mm Hg. Siden størrelsen pV^{γ} er konstant for adiabater i en ideell gass, er det klart at lufta vil utvide seg når trykket reduseres. Kvantitativt:

V/V_{0} = (T/T_{0}) · (p_{0}/p) ≃ (292/293) · (760/751) ≃ 1.01,

dvs utvidelse med omtrent 1%.

Oppgave 4

For ideell gass har vi adiabatligningene pV^{γ} = konst og T V^{γ−1} = konst. Slutt-trykket blir derfor lik

p = p_{0} (\frac{V_{0}}{V} )^{γ} = 1 atm · 18^{1.4} = 57.2 atm,

mens slutt-temperaturen blir (med T_{0} = 17^{∘}C = 290 K)

T = T_{0} (\frac{V_{0}}{V} )^{γ−1} = 290 K · 18^{0.4} = 922 K = 649^{∘}C.

Her er ingen varme utvekslet med omgivelsene, slik at arbeidet tilsvarer endringen i indre energi: Q = ΔU + W = 0. Vi kan nå gå fram på to måter for å bestemme arbeidet utført på gassen: Enten direkte ved å integrere p(V) dV, eller ved å regne ut endringen i indre energi, ΔU. La oss gjøre det på begge vis! Direkte utregning:

W = ∫_{V}^{V_{0}} p(V) dV = p_{0} ∫_{V}^{V_{0}} (\frac{V_{0}}{V} )^{γ} dV = \frac{p_{0}V_{0}}{γ − 1} [(\frac{V_{0}}{V} )^{γ−1} − 1] = \frac{p_{0}V_{0}}{γ − 1} (\frac{T}{T_{0}} − 1) = 0.44 kJ.

Endring i indre energi: Vi vet at U er en tilstandsfunksjon, og vi kjenner her både start- og slutt-tilstand (både trykk, volum og temperatur). Da kan vi bestemme ΔU på den måten som passer oss best, dvs det spiller ingen rolle hva slags prosess (her: adiabatisk) som faktisk tok systemet fra start- til slutt-tilstand. Vi vet videre at endringen i indre energi inngår i uttrykket for varmekapasiteten ved konstant volum, C_{V} = (∂U/∂T)_{V}. Dermed, hvis vi kjenner C_{V} (T), kan vi bestemme ΔU ved å integrere dU = C_{V} dT. Her er det klart at C_{V} er en konstant: Med C_{p} − C_{V} = nR og C_{p}/C_{V} = γ har vi C_{V} = nR/(γ − 1) = 5nR/2. Dermed er

|W | = ΔU = C_{V} (T −T_{0}) = \frac{5}{2}nR(T −T_{0}) = \frac{5}{2}p_{0}V_{0} (\frac{T}{T_{0}} − 1) = 2.5·1.013·10^{5}·0.80·10^{−3}·(\frac{922}{290} − 1) = 0.44 kJ.

Samme svar med begge metoder!

Oppgave 5

Vi sammenligner V_{g} med ΔV_{f}:

\frac{V_{g}}{V_{g} − V_{l}} = (1 − V_{l}/V_{g})^{−1} ≃ 1 + V_{l}/V_{g}.

La oss f.eks se på 1 kg vann, dvs 1 L, dvs V_{l} = 10^{−3} m^{3}. Ideell gass tilstandsligning gir, for 1 kg vanndamp,

V_{g} = nRT/p = (1000 g/18 g/mol) · (8.314 J/mol · K) · 373 K/1.013 · 10^{5} Pa ≃ 1.7 m^{3},

slik at feilen vi gjør er ikke større enn ca 0.06%. Dette vil gjelde temmelig generelt: Ved omdanning av en viss mengde fast stoff eller væske til gass vil volumendringen som regel være praktisk talt lik gassens volum. Arbeidet mot det ytre trykket skjer ved konstant trykk, slik at dette blir

W = ∫_{V_{l}}^{V_{g}} p dV = p(V_{g} − V_{l}) ≃ pV_{g},

der vi kunne neglisjere volumet av vann, V_{l}, i forhold til volumet av vanndamp, V_{g}. Videre kan dampen med god tilnærmelse betraktes som en ideell gass, dvs pV_{g} = nRT. For n mol er fordampingsvarmen nL. Andelen av fordampingsvarmen som går med til arbeid mot det ytre trykket blir derfor (med T = 100^{∘}C = 373 K)

\frac{W}{nL} = \frac{nRT}{nL} = \frac{RT}{L} = \frac{8.314 · 373}{40.7 · 10^{3}} = 0.076 = 7.6%.

Oppgave 6

a) Jernbanen i Norge er ca 4000 km lang. Omtrent hvor mye lenger er den om sommeren enn om vinteren? Anta en temperaturforskjell på 20 grader. Lengdeutvidelseskoeffisienten for stål er 1.1 · 10^{−5} K^{−1}.

α = (ΔL/L)/ΔT ⇒ ΔL = αLΔT = 1.1 · 10^{−5} · 4000 · 20 ≃ 0.88 km. D) 0.88 km

b) Hva er et rimelig estimat for antall molekyler i lufta på soverommet ditt? Anta 3 m × 3 m × 2.4 m.

V = 21.6 m^{3}, slik at N = pV/k_{B}T ≃ 10^{5} · 21.6/(1.38 · 10^{−23} · 300) ≃ 5 · 10^{26}. B) 5 · 10^{26}

c) Figuren viser en reversibel kretsprosess for en ideell gass, bestående av en isobar, en isokor og en isentropisk (adiabatisk) prosess. Ranger temperaturene T_{a}, T_{b} og T_{c} i de tre hjørnene merket hhv a, b og c.

Adiabat brattere enn isoterm, dvs T_{b} < T_{c}. Videre er T_{a} åpenbart minst.

D) T_{a} < T_{b} < T_{c}