\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\pagestyle{empty}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}


\noindent {\em TFY4165/FY1005 2.\ juni 2014} \hfill {\em Side X av Y}

\vspace{6mm}
\underline{\bf FORMLER.} (Forel{\o}pig utgave pr 28.12.13.)

Formlenes gyldighetsomr{\aa}de og symbolenes betydning antas {\aa} v{\ae}re kjent. 
Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene. Vektorer med fete typer. \\

Utvidelseskoeffisienter, trykk-koeffisient, isoterm kompressibilitet:
$$\alpha_L = \frac{1}{L} \left( \frac{\partial L}{\partial T} \right)_p \;\;\;\;\;
  \alpha_V = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p \;\;\;\;\;
  \alpha_p = \frac{1}{p} \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V \;\;\;\;\;
  \kappa_T = -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T$$
Syklisk regel:
$$\left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x
\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = -1$$
F{\o}rste hovedsetning:
$$\dbar Q = dU + \dbar W$$
Varmekapasitet:
$$C = \frac{\dbar Q}{dT}$$
$$C_p - C_V = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p.$$
Termodynamiske potensialer:
$$H=U+pV\;\;\;\;\;F=U-TS\;\;\;\;\;G=H-TS\;\;\;\;\;G=\sum_j \mu_j N_j$$
Den termodynamiske identitet:
$$TdS = dU + pdV - \sum_j \mu_j dN_j$$
Ideell gass tilstandsligning:
$$pV = NkT = nRT$$
van der Waals tilstandsligning:
$$p = \frac{NkT}{V-Nb} - \frac{aN^2}{V^2}$$
Adiabatisk prosess:
$$\dbar Q = 0$$
Joule-Thomson-koeffisienten:
$$\mu_{JT} = \left( \frac{\partial T}{\partial p} \right)_H$$
"PCH 4.18":
$$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p$$
Virkningsgrad for varmekraftmaskin:
$$\eta = \frac{W}{Q_2}$$
Virkningsgrad for Carnot-maskin:
$$\eta_C = 1 - \frac{T_1}{T_2}$$
Maxwells hastighetsfordeling:
$$g(v_x) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{1/2} e^{-mv_x^2/2kT} \;\;\;\;\;
F(v) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} e^{-mv^2/2kT} \;\;\;\;\;
f(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-mv^2/2kT}$$
Gauss-integraler:
$$I_0(\alpha) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$$
$$I_2(\alpha) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-\alpha x^2}dx = -\frac{d}{d\alpha} I_0(\alpha) \;\;\;\; {\rm etc}$$
Ekvipartisjonsprinsippet:

Hver frihetsgrad som inng{\aa}r kvadratisk i energifunksjonen $E$ bidrar med $kT/2$ til midlere energi. \\

Partisjonsfunksjon:
$$Z = \sum_j e^{-E_j/kT} = e^{-\beta F} \;\;\;\;\; (\beta = 1/kT)$$
Kj{\o}leskap, virkningsgrad (effektfaktor):
$$\varepsilon_K = \left|\frac{Q_1}{W}\right|$$
Varmepumpe, virkningsgrad (effektfaktor):
$$\varepsilon_V = \left|\frac{Q_2}{W}\right|$$
Entropi og Clausius' ulikhet:
$$dS = \frac{\dbar Q_{\rm rev}}{T}\;\;\;\;\;
\oint dS = 0 \;\;\;\;\; \oint \frac{\dbar Q}{T} \le 0$$
Boltzmanns prinsipp:
$$S = k \ln W$$
Stirlings formel:
$$N! = \sqrt{2\pi N} N^N e^{-N} \;\;\;\;\; (N \rightarrow \infty)$$
Eksergi:
$$W_{\rm max} = - \Delta G \;\;\; {\rm med} \;\;\; G = U - T_0 S + p_0 V$$
Kjemisk potensial:
$$\mu_j = \left(\frac{\partial G}{\partial N_j}\right)_{p,T,N_{i \ne j}}$$
Ideell blanding:
$$\Delta S_{\rm mix} = -k \sum_j N_j \ln x_j \;\;\;\;\;\;
\mu_j = \mu_j^0 + kT \ln x_j$$
Clausius-Clapeyrons ligning:
$$\frac{dp}{dT} = \frac{\Delta S}{\Delta V}$$
Str{\aa}lingshulrom, frekvensfordeling:
$$\frac{du}{df} = \frac{8\pi h}{c^3} \, \frac{f^3}{\exp(hf/kT)-1}$$
Stefan-Boltzmanns lov:
$$I(T) = \frac{c}{4}\, u(T) = \sigma \, T^4 \;\;\;\;\;\; (\sigma = 2\pi^5 k^4 / 15 h^3 c^2)$$

\newpage
Fouriers lov:
$$\bold{j} = -\kappa \nabla T$$
Varmeledningsligningen:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = D_T \nabla^2 T$$
Ficks lov:
$$\bold{j} = -D \nabla n$$
Diffusjonsligningen:
$$\frac{\partial n}{\partial t} = D \nabla^2 n$$
$U$-verdi:
$$j = U \Delta T$$
Midlere fri veilengde:
$$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}n\sigma}$$
Varmeledningsevne:
$$\kappa = \frac{2 c_V}{3\sigma}\,\sqrt{\frac{kT}{\pi m}}$$
Diffusjonskonstant:
$$D = \frac{\kappa}{n c_V}$$
Fundamentale konstanter:
\begin{eqnarray*}
k &=& 1.38 \cdot 10^{-23} \; {\rm J/K} \\
R &=& 8.31 \; {\rm J/mol}{\rm K} \\
N_A &=& 6.02 \cdot 10^{23} \; {\rm mol}^{-1} \\
h &=& 6.63 \cdot 10^{-34} \; {\rm Js} \\
e &=& 1.60 \cdot 10^{-19} \; {\rm C} \\
c &=& 3.00 \cdot 10^8 \; {\rm m/s} \\
\sigma &=& 5.67 \cdot 10^{-8} \; {\rm W/m}^2{\rm K}^4
\end{eqnarray*}
Omregningsfaktorer:
\begin{eqnarray*}
1 \; {\rm eV} &=& 1.60 \cdot 10^{-19} \; {\rm J} \\
1 \; {\rm {\AA}} &=& 10^{-10} \; {\rm m} \\
1 \; {\rm cal} &=& 4.184 \; {\rm J} \\
1 \; {\rm bar} &=& 10^5 \; {\rm Pa} \\
1 \; {\rm atm} &=& 1.013 \cdot 10^5 \; {\rm Pa} 
\end{eqnarray*}




\end{document}
