{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "**Navn på gruppens medlemmer:**\n", "\n", "*Levér en ferdig kjørt notebook som inkluderer alle resultater, helst eksportert som HTML-dokument. Det er tilstrekkelig at ett gruppemedlem leverer på vegne av alle i gruppa.*\n", "\n", "# Tidsutvikling av bølgefunksjonen\n", "\n", "Utviklingen av en tilstand $\\Psi = \\Psi(x, t)$ over tid er beskrevet av den tidsavhengige Schrödingerlikningen\n", "$$ i \\hbar \\frac{\\partial \\Psi}{\\partial t} = \\hat{H} \\Psi = -\\frac{\\hbar^2}{2m} \\frac{\\partial^2 \\Psi}{\\partial x^2} + V \\Psi $$\n", "\n", "Ved hjelp av separasjon av variable er det mulig å vise at en generell løsning av denne ligningen er\n", "$$ \\Psi(x, t) = \\sum_n c_n \\psi_n(x) e^{-i E_n t / \\hbar} $$\n", "der summen går over alle de stasjonære tilstandene $\\psi_n$ med energier $E_n$ som løser den tidsuavhengige Schrödingerligningen\n", "$$ \\hat{H} \\psi_n = -\\frac{\\hbar^2}{2 m} \\psi_n'' + V \\psi_n = E_n \\psi_n $$\n", "\n", "Det viser seg at *enhver* tilstand $\\Psi(x, t)$ kan skrives som en slik lineærkombinasjon av de stasjonære tilstandene, og vi sier derfor at de utgjør et *fullstendig sett*.\n", "Gitt en vilkårlig starttilstand $\\Psi_0 = \\Psi(x, 0)$, er det bare snakk om å finne de rette konstantene $c_n$ som oppfyller\n", "$$ \\Psi_0 = \\sum_n c_n \\psi_n $$\n", "og vi har da all informasjonen vi trenger for å beregne $\\Psi$ for alle $t$.\n", "Dette er ingen vanskelig oppgave, da de stasjonære tilstandene er *ortogonale*, og *ortonormale*, så lenge vi velger dem normerte, dvs.\n", "$$\\int \\psi_m \\psi_n \\mathrm{d}x = \\delta_{m n} = \\begin{cases}0 & \\text{for}\\,\\, m \\neq n \\\\ 1 & \\text{for}\\,\\, m = n\\end{cases}$$\n", "Vi kan utnytte dette til å \"plukke ut\" en av konstantene $c_m$ i lineærkombinasjonen ved å integrere begge sider av likningen:\n", "$$ \\int \\Psi_0 \\psi_m \\mathrm{d}x = \\int \\sum_n c_n \\psi_n \\psi_m \\mathrm{d}x = \\sum_n c_n \\int \\psi_n \\psi_m \\mathrm{d}x = \\sum_n c_n \\delta_{m n} = c_m $$\n", "\n", "I denne øvingen skal vi se nærmere på egenskapene om ortogonalitet og fullstendighet i en diskretisert modell og utnytte dette til å studere tidsutviklingen til vilkårlige starttilstander i vilkårlige potensialer.\n", "\n", "Vi bruker samme modell for diskretiseringen av rommet som i den første numeriske øvingen.\n", "Der diskretiserte vi rommet i $N + 2$ ekvidistante punkter fra $x_0$ til $x_{N+1}$ og satte $V(x \\leq x_0) = V(x \\geq x_{N+1}) = \\infty$, slik at $\\psi_n(x \\leq x_0) = \\psi_n(x \\geq x_{N+1}) = 0$.\n", "Vi innførte så et vilkårlig potensial $\\boldsymbol{V} = [V(x_1), \\ldots, V(x_N)]^T$ på rutenettet $\\boldsymbol{x} = [x_1, \\ldots, x_N]^T$ og fant de stasjonære tilstandene $\\boldsymbol{\\psi_n} = [\\psi_n(x_1), \\ldots, \\psi_n(x_N)]^T$ og energiene $E_n$ ved å finne egenverdiene og egenvektorene til Hamiltonmatrisen $H$.\n", "\n", "Hamiltonmatrisen $H$ er en reell og symmetrisk matrise, og har da ifølge et teorem fra lineæralgebraen ortogonale egenvektorer.\n", "Vi kan så oversette formen for den generelle løsningen på den tidsavhengige Schrödingerlikningen til vår diskretiserte modell med vektorlikningen\n", "$$ \\boldsymbol{\\Psi} = \\boldsymbol{\\Psi}(x, t) = [\\Psi(x_1, t), \\ldots, \\Psi(x_N, t)]^T = \\sum_{n=1}^{N} c_n \\boldsymbol{\\psi_n} e^{-i E_n t / \\hbar} $$\n", "I denne diskretiserte modellen får vi dermed helt tilsvarende ortogonalitets- og fullstendighetsegenskaper som med de eksakte funksjonene $\\psi$ og $\\Psi$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 1, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# uncomment ONE line to choose matplotlib backend\n", "# if using Jupyter Notebook, use interactive \"notebook\" backend for best results\n", "# if using Jupyter Lab, use interactive \"widget\" backend for best results\n", "# if both fail, use static \"inline\" backend\n", "%matplotlib notebook \n", "#%matplotlib widget \n", "#%matplotlib inline \n", "\n", "import matplotlib.pyplot as plt\n", "import matplotlib.animation\n", "import numpy as np\n", "from IPython.display import HTML, clear_output\n", "\n", "# helpful to raise exception upon complex number calculation error\n", "# instead of just a useless warning\n", "import warnings\n", "warnings.filterwarnings(action=\"error\", category=np.ComplexWarning)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "For å finne de stasjonære tilstandene $\\boldsymbol{\\psi_n}$ og energiene $E_n$ til en partikkel i et vilkårlig potensial $\\boldsymbol{V}$, bruker vi teknikken fra den første numeriske øvingen.\n", "Vi har lagt ved fungerende funksjonalitet for dette i funksjonen `get_stationary_states()` under. \n", "**Merk at**\n", "* **det brukes atomære enheter med $\\hbar = m_e = 1$, slik at naturlige avstander og tider også har tallverdier i størrelsesorden rundt 1,**\n", "* **de stasjonære tilstandene $\\boldsymbol{\\psi_n}$ normeres i forstanden $\\boldsymbol{\\psi_m} \\cdot \\boldsymbol{\\psi_n} = \\sum_{i=1}^N \\psi_{m,i} \\psi_{n,i} \\Delta x = \\delta_{mn}$ (der $\\psi_{n,i}$ er $i$-te element i vektoren $\\boldsymbol{\\psi_n}$), i tråd med normeringsintegralet $\\int \\psi_m \\psi_n \\mathrm{d}x \\approx \\sum_{i=1}^N \\psi_m(x_i) \\psi_n(x_i) \\Delta x$, og at**\n", "* **de stasjonære tilstandene kommer ut i en $N \\times N$ matrise med $\\boldsymbol{\\psi_n}$ langs den $n$-te *raden*, som så kan hentes ut med `waves[n-1]`.**\n", "\n", "Du kan selvfølgelig erstatte dette med din egen løsning fra den første numeriske øvingen, da du kanskje er bedre kjent med denne. For å passe inn med noe inkludert programkode senere i øvingen, anbefaler vi likevel at kravene over er tilfredsstilt." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 2, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "application/javascript": [ "/* Put everything inside the global mpl namespace */\n", "window.mpl = {};\n", "\n", "\n", "mpl.get_websocket_type = function() {\n", " if (typeof(WebSocket) !== 'undefined') {\n", " return WebSocket;\n", " } else if (typeof(MozWebSocket) !== 'undefined') {\n", " return MozWebSocket;\n", " } else {\n", " alert('Your browser does not have WebSocket support. ' +\n", " 'Please try Chrome, Safari or Firefox ≥ 6. ' +\n", " 'Firefox 4 and 5 are also supported but you ' +\n", " 'have to enable WebSockets in about:config.');\n", " };\n", "}\n", "\n", "mpl.figure = function(figure_id, websocket, ondownload, parent_element) {\n", " this.id = figure_id;\n", "\n", " this.ws = websocket;\n", "\n", " this.supports_binary = (this.ws.binaryType != undefined);\n", "\n", " if (!this.supports_binary) {\n", " var warnings = document.getElementById(\"mpl-warnings\");\n", " if (warnings) {\n", " warnings.style.display = 'block';\n", " warnings.textContent = (\n", " \"This browser does not support binary websocket messages. \" +\n", " \"Performance may be slow.\");\n", " }\n", " }\n", "\n", " this.imageObj = new Image();\n", "\n", " this.context = undefined;\n", " this.message = undefined;\n", " this.canvas = undefined;\n", " this.rubberband_canvas = undefined;\n", " this.rubberband_context = undefined;\n", " this.format_dropdown = undefined;\n", "\n", " this.image_mode = 'full';\n", "\n", " this.root = $('
');\n", " this._root_extra_style(this.root)\n", " this.root.attr('style', 'display: inline-block');\n", "\n", " $(parent_element).append(this.root);\n", "\n", " this._init_header(this);\n", " this._init_canvas(this);\n", " this._init_toolbar(this);\n", "\n", " var fig = this;\n", "\n", " this.waiting = false;\n", "\n", " this.ws.onopen = function () {\n", " fig.send_message(\"supports_binary\", {value: fig.supports_binary});\n", " fig.send_message(\"send_image_mode\", {});\n", " if (mpl.ratio != 1) {\n", " fig.send_message(\"set_dpi_ratio\", {'dpi_ratio': mpl.ratio});\n", " }\n", " fig.send_message(\"refresh\", {});\n", " }\n", "\n", " this.imageObj.onload = function() {\n", " if (fig.image_mode == 'full') {\n", " // Full images could contain transparency (where diff images\n", " // almost always do), so we need to clear the canvas so that\n", " // there is no ghosting.\n", " fig.context.clearRect(0, 0, fig.canvas.width, fig.canvas.height);\n", " }\n", " fig.context.drawImage(fig.imageObj, 0, 0);\n", " };\n", "\n", " this.imageObj.onunload = function() {\n", " fig.ws.close();\n", " }\n", "\n", " this.ws.onmessage = this._make_on_message_function(this);\n", "\n", " this.ondownload = ondownload;\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._init_header = function() {\n", " var titlebar = $(\n", " '
');\n", " var titletext = $(\n", " '
');\n", " titlebar.append(titletext)\n", " this.root.append(titlebar);\n", " this.header = titletext[0];\n", "}\n", "\n", "\n", "\n", "mpl.figure.prototype._canvas_extra_style = function(canvas_div) {\n", "\n", "}\n", "\n", "\n", "mpl.figure.prototype._root_extra_style = function(canvas_div) {\n", "\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._init_canvas = function() {\n", " var fig = this;\n", "\n", " var canvas_div = $('
');\n", "\n", " canvas_div.attr('style', 'position: relative; clear: both; outline: 0');\n", "\n", " function canvas_keyboard_event(event) {\n", " return fig.key_event(event, event['data']);\n", " }\n", "\n", " canvas_div.keydown('key_press', canvas_keyboard_event);\n", " canvas_div.keyup('key_release', canvas_keyboard_event);\n", " this.canvas_div = canvas_div\n", " this._canvas_extra_style(canvas_div)\n", " this.root.append(canvas_div);\n", "\n", " var canvas = $('');\n", " canvas.addClass('mpl-canvas');\n", " canvas.attr('style', \"left: 0; top: 0; z-index: 0; outline: 0\")\n", "\n", " this.canvas = canvas[0];\n", " this.context = canvas[0].getContext(\"2d\");\n", "\n", " var backingStore = this.context.backingStorePixelRatio ||\n", "\tthis.context.webkitBackingStorePixelRatio ||\n", "\tthis.context.mozBackingStorePixelRatio ||\n", "\tthis.context.msBackingStorePixelRatio ||\n", "\tthis.context.oBackingStorePixelRatio ||\n", "\tthis.context.backingStorePixelRatio || 1;\n", "\n", " mpl.ratio = (window.devicePixelRatio || 1) / backingStore;\n", "\n", " var rubberband = $('');\n", " rubberband.attr('style', \"position: absolute; left: 0; top: 0; z-index: 1;\")\n", "\n", " var pass_mouse_events = true;\n", "\n", " canvas_div.resizable({\n", " start: function(event, ui) {\n", " pass_mouse_events = false;\n", " },\n", " resize: function(event, ui) {\n", " fig.request_resize(ui.size.width, ui.size.height);\n", " },\n", " stop: function(event, ui) {\n", " pass_mouse_events = true;\n", " fig.request_resize(ui.size.width, ui.size.height);\n", " },\n", " });\n", "\n", " function mouse_event_fn(event) {\n", " if (pass_mouse_events)\n", " return fig.mouse_event(event, event['data']);\n", " }\n", "\n", " rubberband.mousedown('button_press', mouse_event_fn);\n", " rubberband.mouseup('button_release', mouse_event_fn);\n", " // Throttle sequential mouse events to 1 every 20ms.\n", " rubberband.mousemove('motion_notify', mouse_event_fn);\n", "\n", " rubberband.mouseenter('figure_enter', mouse_event_fn);\n", " rubberband.mouseleave('figure_leave', mouse_event_fn);\n", "\n", " canvas_div.on(\"wheel\", function (event) {\n", " event = event.originalEvent;\n", " event['data'] = 'scroll'\n", " if (event.deltaY < 0) {\n", " event.step = 1;\n", " } else {\n", " event.step = -1;\n", " }\n", " mouse_event_fn(event);\n", " });\n", "\n", " canvas_div.append(canvas);\n", " canvas_div.append(rubberband);\n", "\n", " this.rubberband = rubberband;\n", " this.rubberband_canvas = rubberband[0];\n", " this.rubberband_context = rubberband[0].getContext(\"2d\");\n", " this.rubberband_context.strokeStyle = \"#000000\";\n", "\n", " this._resize_canvas = function(width, height) {\n", " // Keep the size of the canvas, canvas container, and rubber band\n", " // canvas in synch.\n", " canvas_div.css('width', width)\n", " canvas_div.css('height', height)\n", "\n", " canvas.attr('width', width * mpl.ratio);\n", " canvas.attr('height', height * mpl.ratio);\n", " canvas.attr('style', 'width: ' + width + 'px; height: ' + height + 'px;');\n", "\n", " rubberband.attr('width', width);\n", " rubberband.attr('height', height);\n", " }\n", "\n", " // Set the figure to an initial 600x600px, this will subsequently be updated\n", " // upon first draw.\n", " this._resize_canvas(600, 600);\n", "\n", " // Disable right mouse context menu.\n", " $(this.rubberband_canvas).bind(\"contextmenu\",function(e){\n", " return false;\n", " });\n", "\n", " function set_focus () {\n", " canvas.focus();\n", " canvas_div.focus();\n", " }\n", "\n", " window.setTimeout(set_focus, 100);\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._init_toolbar = function() {\n", " var fig = this;\n", "\n", " var nav_element = $('
');\n", " nav_element.attr('style', 'width: 100%');\n", " this.root.append(nav_element);\n", "\n", " // Define a callback function for later on.\n", " function toolbar_event(event) {\n", " return fig.toolbar_button_onclick(event['data']);\n", " }\n", " function toolbar_mouse_event(event) {\n", " return fig.toolbar_button_onmouseover(event['data']);\n", " }\n", "\n", " for(var toolbar_ind in mpl.toolbar_items) {\n", " var name = mpl.toolbar_items[toolbar_ind][0];\n", " var tooltip = mpl.toolbar_items[toolbar_ind][1];\n", " var image = mpl.toolbar_items[toolbar_ind][2];\n", " var method_name = mpl.toolbar_items[toolbar_ind][3];\n", "\n", " if (!name) {\n", " // put a spacer in here.\n", " continue;\n", " }\n", " var button = $('');\n", " button.click(method_name, toolbar_event);\n", " button.mouseover(tooltip, toolbar_mouse_event);\n", " nav_element.append(button);\n", " }\n", "\n", " // Add the status bar.\n", " var status_bar = $('');\n", " nav_element.append(status_bar);\n", " this.message = status_bar[0];\n", "\n", " // Add the close button to the window.\n", " var buttongrp = $('
');\n", " var button = $('');\n", " button.click(function (evt) { fig.handle_close(fig, {}); } );\n", " button.mouseover('Stop Interaction', toolbar_mouse_event);\n", " buttongrp.append(button);\n", " var titlebar = this.root.find($('.ui-dialog-titlebar'));\n", " titlebar.prepend(buttongrp);\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._root_extra_style = function(el){\n", " var fig = this\n", " el.on(\"remove\", function(){\n", "\tfig.close_ws(fig, {});\n", " });\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._canvas_extra_style = function(el){\n", " // this is important to make the div 'focusable\n", " el.attr('tabindex', 0)\n", " // reach out to IPython and tell the keyboard manager to turn it's self\n", " // off when our div gets focus\n", "\n", " // location in version 3\n", " if (IPython.notebook.keyboard_manager) {\n", " IPython.notebook.keyboard_manager.register_events(el);\n", " }\n", " else {\n", " // location in version 2\n", " IPython.keyboard_manager.register_events(el);\n", " }\n", "\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._key_event_extra = function(event, name) {\n", " var manager = IPython.notebook.keyboard_manager;\n", " if (!manager)\n", " manager = IPython.keyboard_manager;\n", "\n", " // Check for shift+enter\n", " if (event.shiftKey && event.which == 13) {\n", " this.canvas_div.blur();\n", " // select the cell after this one\n", " var index = IPython.notebook.find_cell_index(this.cell_info[0]);\n", " IPython.notebook.select(index + 1);\n", " }\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype.handle_save = function(fig, msg) {\n", " fig.ondownload(fig, null);\n", "}\n", "\n", "\n", "mpl.find_output_cell = function(html_output) {\n", " // Return the cell and output element which can be found *uniquely* in the notebook.\n", " // Note - this is a bit hacky, but it is done because the \"notebook_saving.Notebook\"\n", " // IPython event is triggered only after the cells have been serialised, which for\n", " // our purposes (turning an active figure into a static one), is too late.\n", " var cells = IPython.notebook.get_cells();\n", " var ncells = cells.length;\n", " for (var i=0; i= 3 moved mimebundle to data attribute of output\n", " data = data.data;\n", " }\n", " if (data['text/html'] == html_output) {\n", " return [cell, data, j];\n", " }\n", " }\n", " }\n", " }\n", "}\n", "\n", "// Register the function which deals with the matplotlib target/channel.\n", "// The kernel may be null if the page has been refreshed.\n", "if (IPython.notebook.kernel != null) {\n", " IPython.notebook.kernel.comm_manager.register_target('matplotlib', mpl.mpl_figure_comm);\n", "}\n" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/html": [ "" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/html": [ "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "
\n", " \n", "
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\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", "
\n", "
\n", "
\n", "\n", "\n", "\n" ], "text/plain": [ "" ] }, "execution_count": 4, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } ], "source": [ "def animate_wave(x, v, m, wave0, fps, t1=0, t2=None, realtime=True, real=False, imag=False):\n", " assert not (not realtime and t2 is None), \"non-realtime animation must be finite in time\"\n", " \n", " dt = 1 / fps\n", " nframes = None if t2 is None else int((t2 - t1) / dt) # None animates forever\n", " \n", " # print information about this animation\n", " nframesstr = \"infinite\" if t2 is None else f\"{nframes}\"\n", " durationstr = \"infinite\" if t2 is None else f\"{t2-t1:.2f}\"\n", " print(\"Animation information:\")\n", " print(f\" Frames : {nframesstr}\")\n", " print(f\" Framerate: {fps} FPS\")\n", " print(f\" Duration : {durationstr}\")\n", " print(f\" Time step: {dt}\")\n", " \n", " fig, ax = plt.subplots()\n", " \n", " # prevent duplicate animation figure in non-realtime mode\n", " #if not realtime:\n", " #clear_output()\n", " \n", " ax.set_xlabel(\"$x$\")\n", " ax.set_ylabel(\"$|\\Psi|$, $\\Re{(\\Psi)}$, $\\Im{(\\Psi)}$\")\n", " \n", " # create objects for the graphs that will be updated every frame\n", " # the commas matter!\n", " ymax = max(np.max(np.abs(wave0)**2), np.max(np.abs(wave0)))\n", " graph, = ax.plot([x[0], x[-1]], [0, +2*ymax]) # plot 2x wave0 to make room\n", " if real:\n", " graph2, = ax.plot([x[0], x[-1]], [0, -2*ymax]) # make room for negative values\n", " if imag:\n", " graph3, = ax.plot([x[0], x[-1]], [0, -2*ymax]) # make room for negative values\n", " \n", " # plot potential extended with indications of infinite walls at ends\n", " ax2 = ax.twinx()\n", " v_max = np.min(v) + 1.1 * (np.max(v) - np.min(v)) + 1 # + 1 if v = const\n", " x_ext = np.concatenate(([x[0]], x, [x[-1]]))\n", " v_ext = np.concatenate(([v_max], v, [v_max]))\n", " ax2.set_ylabel(\"$V(x)$\")\n", " ax2.plot(x_ext, v_ext, linewidth=3, color=\"black\", label=\"V\")\n", " ax2.legend(loc=\"upper right\")\n", " \n", " # call this function for every frame in the animation\n", " def animate(i):\n", " time = t1 + i*dt\n", " wave = meaningless_wave(x, time)\n", " \n", " # update graph objects\n", " # set_data() etc. modifies existing an existing object in a figure\n", " # it is much more efficient than creating a new figure for every animation frame\n", " graph.set_data(x, np.abs(wave))\n", " graph.set_label(f\"$|\\Psi(x, t = {time:.2f})|$\")\n", " if real:\n", " graph2.set_data(x, np.real(wave))\n", " graph2.set_label(f\"$\\Re(\\Psi(x, t = {time:.2f}))$\")\n", " if imag:\n", " graph3.set_data(x, np.imag(wave))\n", " graph3.set_label(f\"$\\Im(\\Psi(x, t = {time:.2f}))$\") \n", " ax.legend(loc=\"upper left\")\n", "\n", " # create matplotlib animation object\n", " ani = matplotlib.animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=nframes, interval=dt*1000, repeat=False) \n", " if realtime:\n", " return ani\n", " else:\n", " return HTML(ani.to_jshtml())\n", " \n", "def meaningless_wave(x, time):\n", " return (x/np.max(x)) * np.exp(1j * x * time)\n", "\n", "# example usage:\n", "x = np.linspace(0, 10, 400)\n", "v = 0*x\n", "m = 1\n", "wave0 = meaningless_wave(x, 0)\n", "animate_wave(x, v, m, wave0, 25, t2=2, realtime=False, real=True, imag=True)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "I resten av øvingen skal vi rett og slett bare teste ut animasjonsfunksjonen på en del forskjellige situasjoner.\n", "\n", "### Partikkel i boks\n", "\n", "I regneøvingene har vi sett på superposisjonen av grunntilstanden og første eksiterte tilstand\n", "$$ \\Psi(x, 0) = \\frac{1}{\\sqrt{2}} (\\psi_1(x) + \\psi_2(x)) $$\n", "for en partikkel i boks.\n", "Vi fant så at sannsynlighetstettheten $|\\Psi(x, t)|^2$ skulle oscillere fram og tilbake med perioden\n", "$$ T = \\frac{2 \\pi \\hbar}{E_2 - E_1} $$\n", "\n", "**Preparér denne starttilstanden for et elektron i en boks og bekreft at perioden er riktig. Du kan for eksempel variere størrelsen på boksen for å finne en periode du har tid til å observere.**" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Fri partikkel representert ved Gaussisk bølgepakke\n", "\n", "I regneøvingene har vi også sett hvordan vi kan representere en fri partikkel som en gaussisk bølgepakke\n", "$$ \\Psi(x, 0) = (2 \\pi \\Delta x^2)^{-1/4} e^{-(x-x_0)^2/4 \\Delta x^2} e^{i p_0 x / \\hbar} $$\n", "med \n", "$$ \\langle x \\rangle = x_0 \\quad \\text{og} \\quad \\langle p \\rangle = p_0 $$\n", "Slik oppnådde vi også et \"beste kompromiss\" mellom usikkerhetene i posisjon $\\Delta x$ og impuls $\\Delta p$, nemlig\n", "$$ \\Delta x \\Delta p = \\hbar / 2 $$\n", "Dette er altså det nærmeste vi kommer å kunne representere en fri partikkel med en noenlunde veldefinert posisjon **og** impuls.\n", "\n", "**Plassér et elektron i en uendelig brønn med en gaussisk bølgepakke. Sørg for at den har plass til å bevege seg et stykke før den kræsjer i veggen. Studér utviklingen over tid. Hva skjer med formen til bølgepakken over tid? Hva skjer ved veggene? Hvilken hastighet har bølgepakkens tyngdepunkt?**" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Koherent tilstand i harmonisk oscillator\n", "\n", "En forskjøvet grunntilstand\n", "$$ \\Psi(x, 0) = \\left(\\frac{m \\omega}{\\pi \\hbar}\\right)^{1/4} e^{-m \\omega (x-x_0)^2 / 2 \\hbar} $$\n", "i den harmoniske oscillatoren kalles på engelsk en *coherent state*.\n", "På norsk kan vi kalle dette en *koherent* eller kanskje en *sammenhengende tilstand*.\n", "Slike tilstander er av spesiell interesse når vi sammenligner kvantemekanikken med den klassiske mekanikken.\n", "\n", "**Studér tidsutviklingen til en slik tilstand for et elektron i en harmonisk oscillator. Plassér den et sted til siden for sentrum av oscillatoren. Kan du se for deg motivasjonen bak navngivningen? Hvilken karakteristisk egenskap ved tilstanden tror du gjør den spesielt relevant for sammenligning med klassisk mekanikk?**" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### Transmisjon og refleksjon av fri partikkel ved potensialbarriere\n", "\n", "I den klassiske mekanikken kan en partikkel umulig befinne seg i et område der partikkelens energi er lavere enn den potensielle energien.\n", "Men i kvantemekanikken er ikke ting så enkelt.\n", "Her kan en partikkel bevege seg gjennom et potensial, selv om potensialet på et punkt er høyere enn partikkelens energi.\n", "Mulighetene for transmisjon og refleksjon avhenger spesielt av partikkelens (forventede) energi\n", "$$ \\langle E \\rangle = \\sum_{n=1}^N |c_n|^2 E_n $$\n", "\n", "**Send et fritt elektron (i form av en gaussisk bølgepakke) inn mot en potensialbarriere. Studér transmisjonen og refleksjonen av bølgepakken. Undersøk hvordan partikkelens (forventede) energi påvirker dens muligheter for å reflekteres og transmitteres, særlig for energier rundt barrierehøyden. Du kan enkelt variere energien ved å justere for eksempel partikkelens impuls.**" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.8.5" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 4 }