TFY4215 Innføring i kvantefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til Test 1.

Oppgave 1 Inspeksjon av en fotball eller et bilde av en fotball eller en buckyball på nett viser at det går ca 5 bindingslengder på lengden mellom diametralt motsatte atomer. Med bindingslengde 1.4 Å er dette ca 7 Å. Et tillegg på 3 Å for elektronskyen på utsiden gir en diameter omkring 1 nm. Riktig svar: B.

Oppgave 2 Massen til 1 karbonatom er ca 12 u, der 1 u er ca 1.66·10^{−27} kg. En buckyball har da masse 60·12·1.66·10^{−27} kg ≃ 1.2 · 10^{−24} kg. Impulsen er da: p = mv = 1.2 · 10^{−24} · 117 = 1.4 · 10^{−22} kg m. Riktig svar: D.

Oppgave 3 Kinetisk energi: K = mv^{2}/2 = 1.2 · 10^{−24} · 117^{2}/2 = 8.2 · 10^{−21} J = 0.051 eV = 51 meV. Riktig svar: D.

Oppgave 4 Bølgelengde: λ = h/p = 6.626 · 10^{−34}/1.4 · 10^{−22} = 4.7 · 10^{−12} m = 4.7 pm. Riktig svar: A.

Oppgave 5 Her er λ/d = 4.7 · 10^{−12}/100 · 10^{−9} = 4.7 · 10^{−5}, som er mye mindre enn 1. Dermed er θ = λ/d = 4.7 · 10^{−5} (radianer) for 1. ordens maksimum. Hvis vi kaller avstanden mellom 0. og 1. ordens maksimum på detektoren for z, har vi tan θ = z/L, med L = 1.2 m. Med θ ≪ 1 kan vi sette tan θ = θ, slik at z = θL = 4.7·10^{−5} ·1.2 = 5.7 · 10^{−5} m = 57 μm. Riktig svar: E.

Oppgave 6 Antall molekyler pr volumenhet i strålen (med partikkelfluks I og hastighet v): n = I/v = 3 · 10^{13}/200 = 1.5 · 10^{11} m^{−3}. Midlere volum pr molekyl: V = 1/n = 6.7 · 10^{−12} m^{3}. Dette tilsvarer en boks med sidekanter L = V^{1/3} = 1.9 · 10^{−4} m = 190 μm. Dette blir da omtrentlig avstand mellom ”nabomolekyler” i strålen, og dette er mye lenger enn apparaturens utstrekning i strålens retning. Vi må derfor konkludere med at molekylene stort sett interfererer med seg selv. Riktig svar: C.

Oppgave 7 Nevneren blir til laveste ikke-trivielle orden lik hν/k_{B}T, slik at dj/dν blir proporsjonal med ν^{2}, Rayleigh-Jeans’ lov. Riktig svar: C.

Oppgave 8 Ombytte fra ν til λ = c/ν som variabel gir:

dν \frac{dj}{dν} ∼ ν^{2}dν = (−\frac{cdλ}{λ^{2}}) · \frac{c^{2}}{λ^{2}} ∼ 1/λ^{4}

Riktig svar: E.

Oppgave 9 Ombytte fra ν til λ = c/ν som variabel gir:

dνν^{3} = (−\frac{cdλ}{λ^{2}}) · \frac{c^{3}}{λ^{3}} ∼ 1/λ^{5}

Riktig svar: A. Oppgave 10 Vi deriverer dj/dν mhp ν, evt mhp x = hν/k_{B}T og setter lik null for å finne kurvens topp-punkt. Litt rydding gir ligningen under A. Riktig svar: A. Oppgave 11 Samme strategi som i forrige oppgave. Eneste forskjell blir at 3 erstattes av 5, siden frekvensfordelingen er proporsjonal med ν^{3}, mens bølgelengdefordelingen er proporsjonal med 1/λ^{5}. Riktig svar: B. Oppgave 12 Riktig svar: E. Oppgave 13 Riktig svar: E. Oppgave 14 Riktig svar: E. Oppgave 15 Riktig svar: E. Oppgave 16 Riktig svar: E. Oppgave 17 Riktig svar: E. Oppgave 18 Riktig svar: E. Oppgave 19 Riktig svar: E. Oppgave 20 Riktig svar: E.