TFY4215 Innføring i kvantefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til Test 2.

Oppgave 1 Radien i en Bohr-bane for et ”hydrogenlignende atom” (ett elektron og kjerne med Z protoner, der Z er atomnummeret) skalerer med 1/Z, slik at Li^{2+} har en grunntilstand med Bohr-bane-radius lik 52.9/3 = 18 pm. Riktig svar: D.

Oppgave 2 Energinivåene skalerer med Z^{2}. Tilsvarende ionisasjonsenergi i H-atomet er 13.6 eV. Dermed 13.6 · 9 = 122 eV. Riktig svar: A.

Oppgave 3 Midlere kinetiske translasjonsenergi ved temperatur T er K = 3k_{B}T/2 (k_{B}T/2 pr kvadratiske frihetsgrad). Videre er K = p^{2}/2m, mens de Broglie-bølgelengden er λ = h/p. Kombinerer vi dette, finner vi at termisk de Broglie-bølgelengde er λ = h/\sqrt{3mk_{B}T}. Riktig svar: C.

Oppgave 4 De raskeste elektronene tilsvarer n = 1 og r_{1} = a_{0} ≃ 0.529 Å:

v_{1} = \sqrt{e^{2}/4πε_{0}m_{e}a_{0}} ≃ 2.2 · 10^{6} m/s.

Riktig svar: D.

Oppgave 5 Med λ = 0.4 nm og elektronmassen for m blir T ca 70000 K. Riktig svar: E.

Oppgave 6

1 = |A|^{2} · 2 · ∫_{0}^{∞} e^{−2κx} dx = |A|^{2}/κ,

slik at A = \sqrt{κ}. (Eventuelt \sqrt{κ} exp(iβ) med reell β.) Riktig svar: D.

Oppgave 7 Pga symmetri er ⟨x⟩ = 0. Dermed er

(Δx)^{2} = ⟨x^{2}⟩ = 2κ ∫_{0}^{∞} x^{2}e^{−2κx}dx
= ∫_{0}^{∞} 2xe^{−2κx}dx
= ∫_{0}^{∞}(1/κ) e^{−2κx}dx
= 1/2κ^{2},

slik at Δx = 1/\sqrt{2}κ. Riktig svar: A.

Oppgave 8 Her kombinerer vi symmetrisk Ψ (og Ψ^{∗}) med antisymmetrisk operator (d/dx) slik at vi må ha ⟨p⟩ = 0. Riktig svar: A.

Oppgave 9

c_{1} = ∫_{0}^{L} ψ_{1}(x)Ψ(x, 0)dx,

som gir alternativ E. Riktig svar: E.

Oppgave 10 Siden Ψ(x, 0) er symmetrisk i boksen, og ψ_{n} med n partall er antisymmetriske, er c_{2} = c_{4} = … = 0. Riktig svar: A.