TFY4215 Innføring i kvantefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 10.

Oppgave 1: Endimensjonal modell for atom og toatomig molekyl

a) Programmet singlewell.py gir at atomet har en grunntilstand med energien -5.754 eV.

b) Programmet doublewell.py gir at molekylet har en grunntilstand med energien -5.907 eV, mens 1. eksiterte tilstand (som også er en bundet tilstand) har energien -5.591 eV.

c) Energien til to separate atomer er −5.7537 · 2 eV ≃ −11.507 eV.

d) Det er ”plass til” to elektroner i hver av molekylets romlige tilstander, siden en gitt romlig tilstand kan kombineres med spinntilstander med ”spinn opp” eller ”spinn ned”. I grunntilstanden er begge molekylets elektroner i den romlige grunntilstanden, et med spinn opp og et med spinn ned. Molekylets totale spinn i grunntilstanden er dermed null.

e) Molekylets totale energi i grunntilstanden er −5.9069 · 2 eV ≃ −11.814 eV. Energigevinsten ved at to separate atomer danner et slik molekyl blir dermed 0.306 eV. Dette kan derfor sies å være (modell-)molekylets bindingsenergi.

Oppgave 2: Endimensjonal modell for krystall

a) Ikke uventet finner vi 5 energinivåer med 5 atomer, og 10 nivåer med 10 atomer. Med andre ord, N energinivåer omkring grunntilstanden for enkeltatomet med N atomer i krystallen.

b) Med 10 atomer ligger de 10 energinivåene mellom -6.041 eV og -5.431 eV. Med 100 atomer ligger de 100 energinivåene mellom -6.052 eV og -5.415 eV. Vi ser at båndbredden E_{N} − E_{1} ikke endres nevneverdig.

c) Båndbredden som funksjon av antall atomer: d) Vi forventer at g(E) skal avta som 1/\sqrt{E}, der nullpunkt for energien E er ved bunnen av energibåndet. Programmet gir en tilstandstetthet, dvs avstand mellom nabonivåer, som er i samsvar med dette.

e) Figuren viser at |ψ|^{2} er en funksjon med periodisiteten til gitteret (man kan telle nøyaktig 50 topper, en for hvert atom) som er modulert med en langsomt varierende funksjon, der hele krystallens bredde ser ut til å tilsvare omtrent en halv bølgelengde for funksjonen |ψ|^{2}, dvs omtrent en kvart bølgelengde for bølgefunksjonen ψ(x). Elektronet er for det meste nær atomkjernene, ettersom |ψ|^{2} er relativt stor i brønnene og betydelig mindre i barriereområdene mellom brønnene. Fra Blochs teorem (kommer i senere kurs!) har vi at ψ skal kunne skrives som produktet av en funksjon som er periodisk i gitteret, u_{k}(x), og en plan bølge exp(ikx). Den raske variasjonen i figuren skyldes |u_{k}(x)|^{2}. Den langsomme ”modulasjonen” skyldes exp(ikx), mer presist en stående bølge cos(kx) satt sammen av en plan bølge som vandrer i positiv x-retning og en som vandrer i negativ x-retning.

f) Vi vet at med en enkelt potensialbrønn så vil vi få flere bundne tilstander dersom vi f.eks øker brønnbredden. Da må vi også forvente flere energibånd med negative energiverdier ved å øke brønnbredden her. Eksempel: Med 50 atomer gir en økning fra 2 Å til 6 Å for både brønn- og barrierebredde 3 bånd, lokalisert ved ca -8.3 eV, -6.3 eV og -3.1 eV:

g) Siden Coulomb-potensialet går som 1/r (i tre dimensjoner), bør vi nok bruke et ”glattere” potensial V (x), som blir temmelig ”dypt” i nærheten av hver atomkjerne.

h) Det er N romlige orbitaler i det laveste båndet, og disse vil alle være okkupert, av i alt 2N elektroner. Deretter vil nederste halvdel i bånd nr 2 være okkupert av N elektroner. De to elektronene med høyest energi vil ligge midt i bånd nr 2, med energi (E_{2}^{max} − E_{2}^{min})/2. Med stor N vil det være ledige tilstander like over dette nivået. Stoffet er dermed et metall.

i) Nå er laveste bånd helt fullt og neste bånd helt tomt. Høyeste okkuperte nivå (HOMO) har energien E_{1}^{max}. Laveste ledige nivå (LUMO) har energien E_{2}^{min}. Dette er dermed en isolator.

j) Jeg fikk et båndgap på ca 2 eV. Min krystall er da en halvleder.