TFY4215 Innføring i kvantefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til Test 3.

Oppgave 1 Vi har

p̂Ψ(x, 0) = \frac{h̄}{i} \frac{d}{dx}\sqrt{κ}e^{−κ|x|+ikx}
= \frac{h̄\sqrt{κ}}{i}(∓κ + ik)e^{∓κx+ikx}

der øvre fortegn gjelder for x > 0 og nedre fortegn for x < 0. Videre er

⟨p⟩ = ∫_{−∞}^{∞} Ψ^{∗}(x, 0)\frac{h̄}{i} \frac{∂}{∂x}Ψ(x, 0) dx.

Når vi her deler opp integralet over hhv negative og positive verdier av x, ender vi (som ventet?) opp med h̄k. Riktig svar: A.

Oppgave 2 Som i oppgave 1 må vi passe på fortegnene for hhv positive og negative x. Gjør vi det, og bruker definisjonen av j, ender vi opp med alternativ C. Riktig svar: C.

Oppgave 3 L̂_{z} inneholder x, y og partiellderiverte mhp x og y, mens p̂_{z} bare inneholder partiellderivert mhp z. Da er det klart at disse to operatorene kommuterer med hverandre. Riktig svar: E.

Oppgave 4 p̂_{x} kommuterer ikke med leddet xp̂_{y} i L̂_{z}. Riktig svar: B.

Oppgave 5 Derivasjon av 1/x mhp x gir −1/x^{2}, så D må være riktig svar. Riktig svar: D.

Oppgave 6 Her er l = 1, slik at L = \sqrt{1 · 2}h̄. Riktig svar: D.

Oppgave 7 Bare en komponent av dreieimpulsen kan være skarp om gangen. Riktig svar: B.

Oppgave 8 Siden L̂_{x}Y_{p_{x}} = 0, beskriver Y_{p_{x}} en tilstand med l = 1 og L_{x} = 0. Videre vet vi at Y_{p_{x}} er en lineærkombinasjon av Y_{11} og Y_{1,−1} (se f eks eksamensformelarket). Dette betyr at det for en partikkel som beskrives av Y_{10} ikke er mulig å måle L_{x} = 0, men kun h̄ eller −h̄, med like stor sannsynlighet. Forventningsverdien blir dermed 0. Riktig svar: A.

Oppgave 9 Her er l = 1, slik at L = \sqrt{1 · 2}h̄. Riktig svar: D.

Oppgave 10 Denne lineærkombinasjonen er egenfunksjon til L̂_{x}, med egenverdi 0. Riktig svar: A.

Oppgave 11 Med skarp L_{x} er L_{z} (og L_{y}) uskarp(e). Riktig svar: B.

Oppgave 12 Partikkelen befinner seg i en egentilstand til L̂_{x}, uttrykt som en lineærkombinasjon av Y_{11} og Y_{1−1}, dvs med m_{l} = ±1, slik at mulige måleresultater ved en måling av L_{z} er ±h̄. Når L_{x} er skarpt definert, her med verdi 0, er det ingenting spesielt med z-aksen, sammenlignet med y-aksen. Da må det også være slik at en måling av L_{y} bare kan gi som resultat ±h̄. Riktig svar: C.

Oppgave 13 Vi har

(x^{2} − y^{2})/r^{2} = sin^{2} θ (cos^{2} ϕ − sin^{2} ϕ) = sin^{2} θ cos 2ϕ,

som tilsvarer Y_{22} + Y_{2−2}. Riktig svar: C.

Oppgave 14 Vi har

xy/r^{2} = sin^{2} θ cos ϕ sin ϕ = sin^{2} θ · \frac{1}{2} sin 2ϕ,

som tilsvarer Y_{22} − Y_{2−2}. Riktig svar: D.

Oppgave 15 Vi har

zx/r^{2} = cos θ sin θ cos ϕ,

som tilsvarer Y_{21} − Y_{2−1}. Riktig svar: B.