TFY4215 Innføring i kvantefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til Test 4.

Oppgave 1 Diskretisert versjon av TUSL på de to punktene n = 1 og n = 2 blir

−ε(ψ_{2} − 2ψ_{1}) = Eψ_{1}
−ε(ψ_{1} − 2ψ_{2}) = Eψ_{2}

med ε ≡ h̄^{2}/2m(Δx)^{2}. Her har vi benyttet grensebetingelsene ψ_{0} = ψ_{3} = 0. Ikke-trivielle (ψ_{n} ≠ 0) løsninger bare hvis

| \begin{matrix}2ε − E & −ε \\ −ε & 2ε − E \end{matrix} | = 0,

med løsninger E = ε og E = 3ε. Riktig svar: D.

Oppgave 2 Ikke-trivielle løsninger bare hvis

| \begin{matrix}2ε − E & −ε & 0 \\ −ε & 2ε − E & −ε \\ 0 & −ε & 2ε − E \end{matrix} | = 0,

med løsninger E = 2ε og E = (2 ± \sqrt{2})ε. Riktig svar: C.

Oppgave 3 Til venstre for potensialspranget er kinetisk energi lik total energi, dvs E = h̄^{2}k^{2}/2m. Til høyre for potensialspranget er kinetisk energi E − V_{0} = h̄^{2}q^{2}/2m. Dermed er refleksjonssannsynligheten

R = \frac{(\sqrt{E} − \sqrt{E − V_{0}})^{2}}{(\sqrt{E} + \sqrt{E − V_{0}})^{2}} ,

som med R = 0.1 gir E/V_{0} ≃ 1.37. Riktig svar: B.

Oppgave 4 N = n_{x} + n_{y} med mulige kombinasjoner (n_{x}, n_{y}) = (0, N), (1, N − 1), …, (N, 0), dvs N + 1 mulige kombinasjoner. Riktig svar: D.

Oppgave 5 Vi finner egenfunksjonene ψ_{n_{x}}(x) og dermed ψ_{n_{y}}(y) i formelvedlegget. Siden x = r cos ϕ i polarkoordinater, blir ψ_{10} = R(r) cos ϕ. Med bevegelse i xy-planet har dreieimpulsen bare en z-komponent, slik at

L̂^{2} = L̂_{z}^{2} = −h̄^{2} \frac{∂^{2}}{∂ϕ^{2}} ,

som gir

L̂^{2}ψ_{10} = h̄^{2}ψ_{10},

dvs L^{2} = h̄^{2}. Riktig svar: C.

Oppgave 6 Operatoren L̂_{z} inneholder en gangs derivasjon mhp ϕ. Dermed er ψ_{10} ikke egenfunksjon til L̂_{z}, dvs L_{z} er uskarp. Riktig svar: B.

Oppgave 7 Med x = r cos ϕ og y = r sin ϕ blir ψ_{11} = f(r) sin ϕ cos ϕ = \frac{1}{2}f(r) sin 2ϕ. Da har vi

⟨L_{z}⟩ = ∫ ψ_{11}^{∗} \frac{h̄}{i} \frac{∂}{∂ϕ}ψ_{11}d^{2}r ∼ ∫_{0}^{2π} sin 2ϕ cos 2ϕdϕ = 0.

Riktig svar: A.

Oppgave 8 Egenfunksjoner til L̂_{z} er exp(imϕ), med heltallig m. For å oppnå L_{z} = h̄, må vi ha m = 1. Siden ψ_{10} ∼ cos ϕ og ψ_{01} ∼ sin ϕ, må vi velge ψ_{10} + iψ_{01}. Riktig svar: C.

Oppgave 9 To partikler i ψ_{00}, hver med energi h̄ω/2, og 3 partikler i ψ_{10} og ψ_{01}, hver med energi 3h̄ω/2. Total energi 11h̄ω/2. Riktig svar: E.

Oppgave 10 Det er 5! = 120 ulike permutasjoner av funksjoner på produktform ψ_{1}(1)ψ_{2}(2)ψ_{3}(3)ψ_{4}(4)ψ_{5}(5). Et par eksempler: ψ_{1}(1)ψ_{2}(2)ψ_{3}(3)ψ_{4}(5)ψ_{5}(4). ψ_{1}(2)ψ_{2}(1)ψ_{3}(3)ψ_{4}(4)ψ_{5}(5). Riktig svar: E.