Side 1 av 7

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK

Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33

KONTINUASJONSEKSAMEN TEP4145 KLASSISK MEKANIKK Torsdag 16. august 2007 kl. 1200 - 1600 Norsk utgave

Hjelpemiddel: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling (alle språk).

• Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidet av NTNU. (HP30S eller lignende.)

Side 2 - 6: Oppgavene Side 7: Noen formler

Prøven består av 5 oppgaver. Det er angitt hvor mye de ulike oppgavene i utgangspunktet vil telle under vurderingen. Gjør oppgavene 1, 2 og 3, samt enten oppgave 4 (fysikk) eller oppgave 5 (teknisk kybernetikk). Merk at Einsteins summekonvensjon, dvs summasjon over gjentatte indekser, benyttes, med mindre noe annet er spesifisert.

Sensuren kommer i løpet av august.

Side 2 av 7

OPPGAVE 1 [Teller 30%]

En sfærisk pendel består av en masse m i enden av ei masseløs stang med lengde l. Den andre enden av stanga er festet i origo. Massen kan med andre ord bevege seg på et kuleskall med radius l, derav navnet. Systemet befinner seg i tyngdefeltet.

a) Vis at systemets lagrangefunksjon er

L = \frac{ml^{2}}{2} (θ̇^{2} + ϕ̇^{2} sin^{2} θ) + mgl cos θ

når vi velger V = 0 i z = 0, og generaliserte koordinater θ og ϕ som vist i figuren.

b) Forklar hvorfor du uten videre kan fastslå at den generaliserte impulsen p_{ϕ} er en bevegelseskonstant og vis at p_{ϕ} er identisk med dreieimpulsens z-komponent (r × mv)_{z}.

c) Innfør den konstante størrelsen

γ = ϕ̇ sin^{2} θ = \frac{p_{ϕ}}{ml^{2}}

og vis at lagrangeligningen for koordinaten θ blir

θ̈ + \frac{g}{l} sin θ − γ^{2} \frac{cos θ}{sin^{3} θ} = 0

d) En mulighet er at pendelen foretar en horisontal sirkelbevegelse, med konstant θ = θ_{0}. Vis at perioden (omløpstiden) da blir

T_{ϕ} = 2π\sqrt{\frac{l cos θ_{0}}{g}}

e) En annen mulighet er at pendelen ”slingrer” omkring θ_{0}, dvs θ(t) = θ_{0} + α(t). Anta kun liten grad av slingring, dvs |α| ≪ θ_{0} (og dermed også |α| ≪ 1), og vis at pendelens bevegelse beskrives av ligningen

α̈ + α \frac{g}{l} cos θ_{0} (4 + tan^{2} θ_{0}) = 0

f) Hva blir ”slingreperioden” T_{α}? Regn ut forholdet mellom omløpstiden og slingreperioden, dvs T_{ϕ}/T_{α}, og skisser dette forholdet som funksjon av vinkelen θ_{0}.

Side 3 av 7

OPPGAVE 2 [Teller 30%] En partikkel med masse m beveger seg i et kulesymmetrisk potensial (”sentralfelt”) V (r). Det kan da vises at bevegelsen foregår i et plan normalt på retningen til dreieimpulsen L, som er en bevegelseskonstant, med |L| = |r × p| = l.

a) Bestem partikkelens lagrangefunksjon L = T − V (må ikke forveksles med dreieimpulsen L), med polarkoordinater r og θ som generaliserte koordinater.

b) Vis at lagrangeligningen for θ blir

\frac{d}{dt} (mr^{2}θ̇) = 0.

Vis at dette nettopp uttrykker dreieimpulsens bevarelse.

c) Vis at lagrangeligningen for r blir

mr̈ − mrθ̇^{2} = f(r),

der f(r) = −∂V/∂r er kraften som virker på partikkelen.

d) Bruk ligningene og opplysningene gitt så langt til å utlede følgende differensialligning for u = 1/r:

\frac{d^{2}u}{dθ^{2}} + u = −\frac{m}{l^{2}u^{2}} f(1/u)

e) Dersom partikkelen beveger seg i et 1/r-potensial, vil banen som kjent beskrives av kjeglesnittet

r(θ) = \frac{α}{1 + ε cos θ},

der α og ε er konstanter. Bruk ”baneligningen” i punkt d) til å verifisere dette. (Anta V (∞) = 0.)

f) Anta nå at partikkelen følger en spiralformet bane r(θ) = r_{0}e^{θ},

der r_{0} er en konstant. Bestem potensialet V (r) som denne partikkelen beveger seg i. (Anta også her at V (∞) = 0.)

Side 4 av 7 OPPGAVE 3 [Teller 15%.] En endimensjonal anharmonisk oscillator kan beskrives med lagrangefunksjonen

L(x, ẋ) = \frac{1}{2}ẋ^{2} − \frac{1}{2}ω^{2}x^{2} − αx^{3} + βxẋ^{2}

der oscillatorens masse er satt lik 1.

a) Hva er den anharmoniske oscillatorens hamiltonfunksjon H(x, p)? En endimensjonal harmonisk oscillator kan beskrives med lagrangefunksjonen

L_{0} = \frac{1}{2}ẋ^{2} − \frac{1}{2}ω^{2}x^{2}

og hamiltonfunksjonen

H_{0} = \frac{1}{2}p^{2} + \frac{1}{2}ω^{2}x^{2}.

b) Sett

L = L_{0} + δL

og

H = H_{0} + δH

for den anharmoniske oscillatoren og vis at for små oscillasjoner (dvs |αx| ≪ ω^{2} og |βx| ≪ 1) er ”avvikene” i L og H like store men med motsatt fortegn, dvs

δL = −δH.

OPPGAVE 4 [For fysikkstudentene, teller 25%.]

En mulig lagrangefunksjon for en relativistisk partikkel med masse m som beveger seg i et konservativt potensial V (x_{i}) er

L = −\frac{mc^{2}}{γ} − V

a) Vis at denne lagrangefunksjonen gir lagrangeligninger som tilsvarer en generalisert variant av Newtons 2. lov,

\frac{d}{dt} p_{i} = F_{i}

Her er p_{i} romlige komponenter (i = 1, 2, 3) av firerimpulsen p_{μ}.

b) Vis at hamiltonfunksjonen

H = v_{i}p_{i} − L

da tilsvarer partikkelens totale energi.

La partikkelen være et elektron med masse m = m_{e} og ladning q = −e som starter i origo med null hastighet ved t = 0, og la potensialet representere et uniformt elektrisk felt rettet langs −x̂, dvs

V (x) = qE_{0}x

c) Sett opp lagrangeligningen for elektronet og vis at dets hastighet blir

ẋ = \frac{eE_{0}t/m_{e}}{\sqrt{1 + (eE_{0}t/m_{e}c)^{2}}}

d) Løs ligningen og bestem elektronets bane x(t). Kontroller at svaret er fornuftig, både for små og store verdier av t.

OPPGAVE 5 [For kybernetikkstudentene, teller 25%.]

a) Den aller enkleste differensligningen er gitt ved relasjonen

a_{n+1} = r a_{n},

der n ≥ 0 mens r er et reelt tall. Anta at verdien a_{0} er kjent, og skriv ned uttrykket for den generelle a_{n}.

b) En representasjon av den lineære, homogene differensligningen av annen orden er

a_{n+1} = b a_{n} + c a_{n−1},

der n ≥ 1 mens b og c er reelle tall. Sett som prøveløsning

a_{n} = C r^{n},

og utled direkte fra differensligningen den karakteristiske annengradsligningen.

c) Anta at det er to distinkte røtter r_{1} og r_{2} for annengradsligningen i punkt b). Det oppgis at alle følger

a_{n} = c_{1} r_{1}^{n} + c_{2} r_{2}^{n},

der c_{1} og c_{2} er konstanter, er løsninger av

a_{n+1} = b a_{n} + c a_{n−1}.

Sett opp et system for de to ukjente koeffisientene c_{1} og c_{2}, og bestem eksplisitte uttrykk for c_{1} og c_{2}, dvs uttrykt ved de kjente størrelsene r_{1}, r_{2}, a_{0} og a_{1}. (HINT: Bruk gjerne Cramers regel ved løsning av systemet med de to ukjente.)

d) Betrakt følgen {F_{n}} av Fibonaccitall, definert ved

F_{n+1} = F_{n} + F_{n−1},

der F_{0} = F_{1} = 1. Gitt at

F_{n} = C_{1} r_{1}^{n} + C_{2} r_{2}^{n},

bestem de to distinkte røttene r_{1} og r_{2} ved å løse den tilhørende karakteristiske annengradsligningen. (HINT: Denne ligningen kan løses direkte ut fra analysen i punkt b).)

Side 7 av 7

Noen formler

Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Hamiltons ligninger:

q̇_{i} = \frac{∂H}{∂p_{i}} , ṗ_{i} = −\frac{∂H}{∂q_{i}}

• Lagranges ligninger:

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} − \frac{∂L}{∂q_{i}} = 0

• Lorentzfaktor:

γ = 1/\sqrt{1 − β^{2}} , β = v/c

• Firervektor:

x_{μ} = (r, ict)

• Egentid τ definert ved:

dx_{μ} dx_{μ} = −c^{2} dτ^{2}

• Firerhastighet:

u_{μ} = \frac{dx_{μ}}{dτ} = γ(v, ic)

• Firerimpuls:

p_{μ} = m u_{μ} = γ(mv, imc)

• Firerpotensial:

A_{μ} = (A, iϕ/c)

• Elektromagnetisk felt:

E = −∇ϕ − \frac{∂A}{∂t}

B = ∇ × A

• Lorentztransformasjon (med relativ hastighet v = vx̂): L_{22} = L_{33} = 1 , L_{11} = L_{44} = γ , L_{14} = −L_{41} = iβγ

• Trigonometriske relasjoner:

cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b

• For |x| ≪ 1 gjelder:

(1 + x)^{n} ≃ 1 + nx cos x ≃ 1 sin x ≃ x