TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 12

Løsning oppgave 1

y_{3} = y_{1} + y_{2} = A cos(kx − ωt + φ_{1}) + A cos(kx − ωt + φ_{2})
=_{(K7) og (K9)} Re {Ae^{i(kx−ωt+φ_{1})} + Ae^{i(kx−ωt+φ_{2})}}

= Re \{Ae^{i(kx−ωt+(φ_{1}+φ_{2})/2)} \overbrace{(e^{i(φ_{1}−φ_{2})/2} + e^{−i(φ_{1}−φ_{2})/2})}^{=2 cos \frac{φ_{1}−φ_{2}}{2}}\}

(Merk at her er brukt tilsvarende triks som i lign. (4.64) i forelesningene.)

= Re \{2A cos \frac{φ_{1} − φ_{2}}{2} e^{i(kx−ωt+(φ_{1}+φ_{2})/2)}\}

=_{(K7)} 2A cos \frac{φ_{1} − φ_{2}}{2} cos(kx − ωt + (φ_{1} + φ_{2})/2)

= \underline{\underline{A_{3} cos(kx − ωt + φ_{3})}}  (1)

der vi har satt:

A_{3} = \underline{\underline{2A cos \frac{φ_{1} − φ_{2}}{2}}}  (2)
φ_{3} = \underline{\underline{\frac{φ_{1} + φ_{2}}{2}}}  (3)

b)

y_{3} = A_{1} cos(kx − ωt + φ_{1}) + A_{2} cos(kx − ωt + φ_{2})
= Re {(A_{1}e^{iφ_{1}} + A_{2}e^{iφ_{2}}) e^{i(kx−ωt)}}
= Re {A_{3}e^{iφ_{3}}e^{i(kx−ωt)}}
= \underline{\underline{A_{3} cos(kx − ωt + φ_{3})}}  (4)

der A_{3} og φ_{3} er gitt ved at:

A_{3}e^{iφ_{3}} ≡ A_{1}e^{iφ_{1}} + A_{2}e^{iφ_{2}}  (5)

som gir: For realdel:

A_{3} cos φ_{3} = A_{1} cos φ_{1} + A_{2} cos φ_{2}  (6)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 2

For imagniærdel:

A_{3} sin φ_{3} = A_{1} sin φ_{1} + A_{2} sin φ_{2}  (7)

(7) dividert med (6):

tan φ_{3} = \frac{A_{1} sin φ_{1} + A_{2} sin φ_{2}}{A_{1} cos φ_{1} + A_{2} cos φ_{2}}  (8)

og

φ_{3} = \underline{\underline{arctan \frac{A_{1} sin φ_{1} + A_{2} sin φ_{2}}{A_{1} cos φ_{1} + A_{2} cos φ_{2}}}}  (9)

A_{3} finnes f.eks. ved A_{3} = (A_{3}^{2})^{1/2} og

A_{3}^{2} = A_{3}e^{iφ_{3}} · A_{3}e^{−iφ_{3}}

=_{(5)} (A_{1}e^{iφ_{1}} + A_{2}e^{iφ_{2}}) · (A_{1}e^{−iφ_{1}} + A_{2}e^{−iφ_{2}})

= A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{1}A_{2}e^{i(φ_{1}−φ_{2})} + A_{1}A_{2}e^{−i(φ_{1}−φ_{2})}

= \underline{\underline{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_{1}A_{2} cos(φ_{1} − φ_{2})}}  (10)

c) På helt tilsvarende vis som i pkt. b:

y_{N} = ∑_{i} A_{i} cos(kx − ωt + φ_{i})

= Re {(∑_{i} A_{i}e^{iφ_{i}}) · e^{i(kx−ωt)}}

= Re {A_{N}e^{iφ_{N}} e^{i(kx−ωt)}}

= \underline{\underline{A_{N} cos(kx − ωt + φ_{N})}}  (11)

der A_{N} og φ_{3} er gitt ved at:

A_{N}e^{iφ_{N}} ≡ ∑_{i} A_{i}e^{iφ_{i}}  (12)

som helt tilsvarende som i pkt. b gir:

φ_{3} = \underline{\underline{arctan (\frac{∑_{i} A_{i} sin φ_{i}}{∑_{i} A_{i} cos φ_{i}} )}}  (13)

og

A_{N}^{2} = (∑_{i=1}^{N} A_{i}e^{iφ_{i}}) · (∑_{j=1}^{N} A_{j}e^{−iφ_{j}} ) = \underline{\underline{∑_{i=1}^{N} ∑_{j=1}^{N} A_{i}A_{j}e^{i(φ_{i}−φ_{j})}}}  (14)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 3

Løsning oppgave 2

a) Posisjonsvektor for punktet = r_{p}

ωt − k · r + ϕ = konstant ωt dt − k · dr_{p} = 0

k · \frac{dr_{p}}{dt} = k · \frac{dr_{p}}{dt} = ω

\underline{\underline{\frac{dr_{p}}{dt} = \frac{ω}{k}}} q.e.d.

b) Kompleks representasjon (fysikalsk størrelse er her imaginærdelen):

E_{R} = E_{0}e^{jωt} (e^{jϕ} + e^{j2ϕ} + e^{j3ϕ} + ⋯ + e^{jNϕ})

Parentesen er summen av en geometrisk rekke.

E_{R} = E_{0}e^{jωt}e^{jϕ} \frac{1 − e^{jNϕ}}{1 − e^{jϕ}}

Minste verdi for ϕ som gir E_{R} = 0 blir: \underline{\underline{ϕ = 2π/N}} (For ϕ = 0 blir E_{R} = NE_{0} sin ωt)

c) Akustisk intensitet:

[I_{a}] = [\frac{p^{2}}{ρc}] = \frac{N^{2} m^{4}}{\frac{kg}{m^{3}} \frac{m}{s}} = N^{2} kg\frac{m^{2}}{s} = kg\frac{m}{s^{2}}N kg\frac{m^{2}}{s} = \underline{\underline{\frac{W}{m^{2}}}}

Elektromagnetisk intensitet:

[I_{em}] = [ε_{0}cE^{2}] = \frac{F}{m} · \frac{m}{s} · (\frac{V}{m})^{2} = \frac{CV^{2}}{V sm} = \frac{AV}{m^{2}} = \frac{W}{m^{2}}

Altså:

\underline{\underline{[I_{em}] = [I_{a}] = \frac{W}{m^{2}}}}  q.e.d.

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 4

Løsning oppgave 3 Vi har fra lign. (4.16), (4.17), (4.18) og (4.13) i forelesningene:

E_{θ} = E_{1} + E_{2} = E_{0}[cos(kr − ωt − φ′) + cos(k(r + Δr) − ωt − φ′)]

= Re {E_{0} [e^{i(kr−ωt−φ′)} + e^{i(k(r+Δr)−ωt−φ′)}]}

= Re \{E_{0}e^{i(kr−ωt−φ′+kΔr/2)} · \underbrace{(e^{−ikΔr/2} + e^{ikΔr/2})}_{=2 cos(\frac{kΔr}{2})} \}

= Re \{2E_{0} cos (\frac{kΔr}{2} ) e^{i(kr−ωt−φ′+kΔr/2)}\}

= 2E_{0} cos (\frac{kΔr}{2} ) cos(kr − ωt − φ′ + kΔr/2)

= \underline{\underline{E_{θ_{0}} cos(kr − ωt − φ′ + \frac{kΔr}{2} )}}

som er det samme som lign. (4.21) og (4.22) i forelsning. Løsning oppgave 4 Ligning (4.74) i forelesningene gir:

\frac{D}{A} ≈ Δθ = 1.22\frac{λ}{d} = 1.22\frac{λ_{0}/n}{d} ⇒

A = \frac{nDd}{1.22λ_{0}} = \frac{1.33 · 1.4 · 0.006}{1.22 · 580 · 10^{−9}}m = \underline{\underline{15.8 km}}