TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 13

Løsning oppgave 1

Vi antar at det flyttbare speilet er plassert slik at vi i sentrum i interferensmønsteret har konstruktiv interferens for lys med bølgelegnde λ_{1} og destruktiv for lys med λ_{2}. (Da vil interferensringene til lys med λ_{1} og lys med λ_{2} falle midt mellom hverandre.) Vi kaller ganglengdeforskjellen (dvs. forskjell i lysveg for lys reflektert fra de to speilene) for 2d_{1} og har da:

2d_{1} = nλ_{1}  (1)

og

2d_{1} = (m + 1/2)λ_{2}  (2)

der n og m er heltall.

Den ganglengdeforskjellen der vi på nytt i sentrum får konstruktiv interferens for lys med λ_{1} og destruktiv for lys med λ_{2}, kaller vi 2d_{2}. Vi antar d_{2} > d_{1}. Da må forskjellen mellom m og n ha økt med 1, og vi har:

2d_{2} = (n + r)λ_{1}  (3)

og

2d_{2} = (m + r + 1 + 1/2)λ_{2}  (4)

(1) og (3) gir:

2(d_{2} − d_{1}) = rλ_{1}  (5)

(2) og (4) gir:

2(d_{2} − d_{1}) = (r + 1)λ_{2}  (6)

Videre gir kombinasjon av (5) og (6):

λ_{1} − λ_{2} = 2(d_{2} − d_{1}) (\frac{1}{r} − \frac{1}{r + 1}) = 2\frac{d_{2} − d_{1}}{r(r + 1)}  (7)

og også:

r(r + 1) = \frac{[2(d_{2} − d_{1})]^{2}}{λ_{1}λ_{2}}  (8)

(8) i (7) gir:

λ_{1} − λ_{2} = \frac{λ_{1}λ_{2}}{2(d_{2} − d_{1})}  (9)

eller:

d_{2} − d_{1} = \frac{λ_{1}λ_{2}}{2(λ_{1} − λ_{2})} ≈ \underline{\underline{0.3 mm}}  (10)

Merk at dersom situasjonen er at λ_{1} ≈ λ_{2} er tilnærmet kjent, kan vi ved måling av d_{2} − d_{1} finne λ_{1} − λ_{2} ved hjelp av lign. (9).

Løsning oppgave 2

Δt_{jord} = \frac{4.80 · 10^{6} m}{300 m/s} = 1.60 · 10^{4} s

Δt_{fly} er egentiden mellom de to passeringene. Altså må vi ifølge lign. (5.15) i forelesningsnotatene ha:

Δt_{jord} = \frac{Δt_{fly}}{\sqrt{1 − u^{2}/c^{2}}}  (11)

der u = 300 m/s og c = lyshastigheten. Altså:

Δt_{fly} = Δt_{jord}\sqrt{1 − u^{2}/c^{2}} ≈ Δt_{jord} (1 − \frac{1}{2} \frac{u^{2}}{c^{2}} )  (12)

Dermed er relativ tidsdifferanse

\frac{Δt_{jord} − Δt_{fly}}{Δt_{jord}} = \frac{1}{2} \frac{u^{2}}{c^{2}} = \underline{5.0 · 10^{−13}}

og absolutt:

Δt_{jord} − Δt_{fly} = 5.0 · 10^{−13} · 1.60 · 10^{4} s = \underline{\underline{8.0 · 10^{−9} s}} ≈ \underline{\underline{8.0 ns}}

\underline{Merknad:} Det har vært gjort forsøk med å sende nøyaktig klokke med et Boeing 747 fly og denne effekten (dvs. lign. (5.15)) har altså blitt verifisert for hastigheter u ≪ c. (Moderne klokker kan måle tid med presisjon 10^{−11} % = \frac{1}{10^{13}} i dag.)

Løsning oppgave 3

a) Levetid ifølge observatør på jorda iflg. lign. (5.15) i forelesningsnotatene:

Δt = \frac{Δt_{0}}{\sqrt{1 − u^{2}/c^{2}}} = \frac{2.20 · 10^{−6} s}{\sqrt{1 − 0.990^{2}}} = \underline{\underline{15.6 · 10^{−6} s}}  (13)

b) Lengde Δs_{j} tilbakelagt ifølge observatør på jorda:

Δs_{j} = 0.990c · 15.6 · 10^{−6} s = \underline{\underline{4630 m}}

Lengde målt på jorda fra jorda er egenlengden. Vi har da for lengden Δs_{m} målt fra muonets hvilesystem ved hjelp av lign. (5.25) i forelesningsnotatene:

Δs_{m} = Δs_{j}\sqrt{1 − u^{2}/v^{2}} = 4630 m\sqrt{1 − 0.990^{2}} = \underline{\underline{653 m}}

c) En observatør på jorda vil si at muonet eksisterte Δt = γΔt_{0} og forflyttet seg:

Δs_{j} = u · Δt = 0.990c · 15.6 · 10^{−6} s = 4630 m

En observatør i hvilesystemet til muonet vil si at muonet eksisterte Δt_{0} og at jordas koordinatsystem bevegde seg (parallelt muonets sti (sett fra jorda), men i motsatt retning) på Δt_{0}:

Δs_{m} = uΔt_{0} = 0.990c · 2.20 · 10^{−6} s = 653 m

Verdiene for Δs_{j} og Δs_{m} er her i pkt. c) kun basert på at Δt og Δt_{0} er forskjellige på grunn av tidsdilatasjon. I pkt. b) fikk vi samme resultat for Δs_{m} (ut fra Δs_{j}) kun basert på lengdekontraksjon.

Løsning oppgave 4

Vi kaller lengden muonet tilbakelegger i jordas referansesystem ΔL, hastigheten (i jordas referansesystem) u_{min} og tida det eksisterer målt fra jorda Δt og egentiden det eksisterer Δt_{0}. Vi har da:

S = u_{min} · Δt = u_{min} \frac{Δt_{0}}{\sqrt{1 − (u_{min}/c)^{2}}}  (14)

som gir

(1 − \frac{u_{min}^{2}}{c^{2}} ) · S^{2} = (u_{min} · Δt_{0})^{2}

og

u_{min} = ( \frac{S^{2}}{\frac{S^{2}}{c^{2}} + (Δt_{0})^{2}} )^{1/2} = c\frac{1}{(1 + (\frac{Δt_{0}c}{S})^{2})^{1/2}}

≈ c (1 − \frac{1}{2} (\frac{Δt_{0}c}{S})^{2})

= c (1 − \frac{1}{2} (\frac{2.20 · 10^{−6} · 2.997925 · 10^{8}}{1.00 · 10^{4}} )^{2})
≈ \underline{\underline{0.997825 c ≈ 2.9914 · 10^{8} m/s}}  (15)

Vi kaller lengden fra jordas overflate til dannelsespunktet for muonet i jordas referansesystem for L_{0}. Tilsvarende lengde i muonets referansesystem kalles L. Vi har da:

L = L_{0} (1 − (u_{min}/c)^{2})^{1/2}
= 1.00 · 10^{4} m (1 − (0.997825)^{2})^{1/2}
≈ \underline{\underline{6.59 · 10^{2} m}}  (16)

Løsning oppgave 5

For linjer med bølgelengde i intervallet [λ_{min}, λ_{maks}], må n_{1} og n_{2} oppfylle følgende kriterium:

\frac{1}{R_{H}λ_{maks}} ≤ (\frac{1}{n_{1}^{2}} − \frac{1}{n_{2}^{2}} ) ≤ \frac{1}{R_{H}λ_{min}}

Med oppgitte verdier λ_{min} = 400 nm, λ_{maks} = 750 nm og R_{H} = 1.0972 · 10^{7}m^{−1}, blir kriteriet

0.122 ≤ (\frac{1}{n_{1}^{2}} − \frac{1}{n_{2}^{2}} ) ≤ 0.228  (17)

Da n_{2} kan ta verdiene n_{2} = 2, 3, 4, …, vil (1/n_{2}^{2}) alltid være større enn 0 og mindre enn 0.25. Innsetting av n_{1} = 1 i (17) viser at den høyre ulikheten aldri lar seg oppfylle, uansett verdi av n_{2}, dvs. linjen svarende til n_{1} = 1 ligger i sin helhet i det ultrafiolette område av spekteret. Ved inndetting av n_{1} = 2 ser vi derimot at det nå må finnes \underline{noen} verdier av n_{2} som tilfredsstiller begge ulikhetene i (17), dvs. serien svarende til n_{2} = 2 ligger delvis i det synlige området. For n_{1} ≥ 3 vil aldri den venstre ulikheten kunne oppfylles, uansett verdi av n_{2}, dvs. seriene svarende til n_{2} ≥ 3 ligger i sin helhet i det infrarøde område.

For n_{1} = 2 kan n_{2} ta verdiene n_{2} = 3, 4, 5, … (n_{2} > n_{1}). Innsetting i (17) viser at begge ulikhetene er oppfylt for n_{2} = 3, 4, 5, 6, dvs. hydrogenspekteret inneholder fire

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 5

synlige linjer:

n_{1} = 2, n_{2} = 3 → rød linje med bølgelengde 656.2 nm.
n_{1} = 2, n_{2} = 4 → turkis linje med bølgelengde 486.1 nm.
n_{1} = 2, n_{2} = 5 → fiolett linje med bølgelengde 434.0 nm.
n_{1} = 2, n_{2} = 6 → nær-ultrafiolett linje med bølgelengde 410.1 nm.

Løsning oppgave 6

a) Wiens lov gir:

ν_{max} = 5.88 · 10^{10} Hz/K · 3200K = 1.88 · 10^{14} Hz

og fotonenergien er følgelig:

ν_{max} = 6.626008 · 10^{−34} Js · 1.88 · 10^{14} Hz = 1.25 · 10^{−19} J

Antall utsendte fotoner pr. sek er da: \frac{40 W}{1.25 · 10^{−19} J} = \underline{\underline{3.2 · 10^{20}s^{−1}}}

Ved avstand 2.0 m fra lyspæren fordeler fotonfluksen seg over et kuleskall med areal 4π(2.0 m)^{2} = 16π m^{2}. Antall fotoner pr. m^{2} er derfor:

\frac{3.2 · 10^{20} s^{−1}}{16π m^{2}} = \underline{\underline{6.4 · 10^{18} m^{−2} s^{−1}}}

og antallet fotoner som passerer pupillen (med åpning π(0.25 · 10^{−2} m)^{2}) er: 6.4 · 10^{19} m^{−2}s^{−1} · π(0.25 · 10^{−2} m)^{2} = \underline{\underline{1.3 · 10^{14}s^{−1}}}

b) Energien til et foton med bølgelengde 550 nm er:

hν = hc/λ = \frac{6.62608 · 10^{−34} Js · 3.00 · 10^{8} m/s}{550 · 10^{9} m}
= \underline{3.61 · 10^{−19} J}

og antallet fotoner som treffer jordoverflaten pr. m^{2} pr. sekund er:

\frac{1.0 · 10^{3} Wm^{−2}}{3.61 · 10^{−19} J} = \underline{\underline{2.8 · 10^{21} m^{−2}s^{−1}}}

Antall fotoner som treffer innenfor en sirkel med diameter 5 mm er:

2.8 · 10^{21} m^{−2}s^{−1} · π(0.25 · 10^{−2} m)^{2} = \underline{\underline{5.5 · 10^{16} s^{−1}}} c) Energi pr. fotoen er:

hν = hc/λ = \frac{6.62608 · 10^{−34} Js · 3.00 · 10^{8} m/s}{600 · 10^{−9} m} = \underline{3.31 · 10^{−19} J}

og dersom lyset avgir effekten P = 1.7 · 10^{−18} W til netthinnen, tilsvarer dette en fotonstrøm:

\frac{1.7 · 10^{−18} W}{3.31 · 10^{−19} J} = 5.1 s^{−1} ≈ \underline{\underline{5 s^{−1}}}

\underline{Kommentar:} Resultatene i pkt b) og c) viser hvor bemerkelsesverdig stort øyets følsomhetsområde er. Med en nedre følsomhetsgrense på ca. 5 fotoner pr. sekund til en øvre grense på ca. 5 · 10^{16} fotoner pr. sekund spenner øyets dynamiske område over 16 dekader. (Det antas at det er mulig å se mot solen i ca. 1 sekund uten at øye skades.) Hvor imponerende dette er, blir klart ved å sammenligne med et fotomultiplikatorrør (PM-rør), som er en av de mest følsomme optiske detektorer mennesket har fremstilt. Under optimale forhold - som innebærer nedkjøling av fotokatoden og digitalisering av utgangssignalet - kan et slikt PM-rør telle ned mot 1 foton pr. sekund (og kanskje enda lavere). Imidlertid, PM-røret vil “gå i metning”ved 10^{7} − 10^{8} fotoner pr. sekund, altså lenge før øyet “går i metning”.