TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 2

Løsning oppgave 1 a)

y_{3} = y_{1} + y_{2}

= A cos(kx − ωt + φ_{1}) + A cos(kx − ωt + φ_{2})

= 2A cos \frac{kx − ωt + φ_{1} + kx − ωt + φ_{2}}{2} · cos \frac{φ_{1} − φ_{2}}{2}

= 2A cos (kx − ωt + \frac{φ_{1} + φ_{2}}{2} ) cos \frac{φ_{1} − φ_{2}}{2}

= \underline{\underline{A_{3} cos(kx − ωt + φ_{3})}} q.e.d. (1)

der vi har satt:

A_{3} ≡ \underline{\underline{2A cos \frac{φ_{1} − φ_{2}}{2} ≡ 2A cos \frac{Δφ}{2}}}  (2)
φ_{3} = \underline{\underline{\frac{φ_{1} + φ_{2}}{2}}}  (3)

b) |A_{3}| har maksimalverdi når

|cos \frac{Δφ}{2}| = 1,

dvs. når \frac{Δφ}{2} = n · π, n = 0, 1, 2, …, dvs. når \underline{\underline{Δφ = n · 2π}}, n = 0, 1, 2, . . .. Da får vi \underline{\underline{|A_{3}|^{maks} = 2A}} (Bølgene adderes i fase.) |A_{3}| har minimalverdi når

cos \frac{Δφ}{2} = 0,

dvs. når \frac{Δφ}{2} = (2n+1)· \frac{π}{2} , n = 0, 1, 2, …, dvs. når \underline{\underline{Δφ = (2n + 1) · π}}, n = 0, 1, 2, . . .. Da får vi \underline{\underline{|A_{3}|^{min} = 0}} (Bølgene adderes i motfase.) Løsning oppgave 2

a) Vi har:

\frac{∂^{2}D_{1}(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}D_{1}(x, t)}{∂t^{2}}.  (4)

og

\frac{∂^{2}D_{2}(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}D_{2}(x, t)}{∂t^{2}}.  (5)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 2

(4) + (5) gir (siden partiell derivasjon er en lineær operasjon):

\underline{\underline{\frac{∂^{2}D(x, t)}{∂x^{2}}}} = \frac{∂^{2}[D_{1}(x, t) + D_{2}(x, t)]}{∂x^{2}} = \frac{∂^{2}D_{1}(x, t)}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}D_{2}(x, t)}{∂x^{2}}

= \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}D_{1}(x, t)}{∂t^{2}} + \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}D_{2}(x, t)}{∂t^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}[D_{1}(x, t) + D_{2}(x, t)]}{∂t^{2}}

= \underline{\underline{\frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}D(x, t)}{∂t^{2}}}} q.e.d.

b) Vi betrakter først f(x − vt) og setter ξ = x − vt. Vi får da:

\frac{∂f}{∂t} = \frac{∂f}{∂ξ} \underbrace{\frac{∂ξ}{∂t}}_{=−v} = −v \frac{∂f}{∂ξ}  (6)

og videre

\frac{∂^{2}f}{∂t^{2}} = \frac{∂}{∂t} (\frac{∂f}{∂t} ) = −v \frac{∂^{2}f}{∂ξ^{2}} \underbrace{\frac{∂ξ}{∂t}}_{=−v} = v^{2} \frac{∂^{2}f}{∂ξ^{2}}  (7)

eller

\frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}f}{∂t^{2}} = \frac{∂^{2}f}{∂ξ^{2}}  (8)

Helt tilsvarende (da \frac{∂ξ}{∂x} = 1) får vi:

\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} = \frac{∂^{2}f}{∂ξ^{2}}  (9)

(8) og (9) gir

\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}f}{∂t^{2}}  (10)

som viser at f(x − vt) oppfyller lign. (1) i oppgaveteksten. På helt tilsvarende vis (bortsett fra at vi ikke får minustegn foran v som i (6) og (7)) får vi:

\frac{∂^{2}g}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}g}{∂t^{2}}  (11)

Punkt a og lign. (10) og (11) gir da at:

D(x, t) = f(x − vt) + g(x + vt)

oppfyller lign. (1) i oppgaveteksten. q.e.d.