TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 4

Løsning oppgave 1 a)

ω^{2} = gk tanh(kh)
⇒ v_{f} = \frac{ω}{k} = \sqrt{\frac{g}{k} tanh(kh)} = \sqrt{g/k}\sqrt{tanh(kh)}  (1)

Dypvannstilnærmingen:

ω^{2} = gk
⇒ v_{f,Dyp} = \sqrt{g/k}  (2)

(2) dividert på (1) gir:

\frac{v_{f,Dyp}}{v_{f}} = \frac{1}{\sqrt{tanh(kh)}}  (3)

\underline{h = λ/3} ⇒ kh = 2π/3 som gir:

\frac{v_{f,Dyp}}{v_{f}} = \frac{1}{\sqrt{tanh(2π/3)}} = \frac{1}{\sqrt{0.970}} ≈ 1.015

som betyr at v_{f,Dyp} er \underline{\underline{1.5% for stor}} når h = λ/3. \underline{h = λ/2} ⇒ kh = π som gir:

\frac{v_{f,Dyp}}{v_{f}} = \frac{1}{\sqrt{tanh(π)}} = \frac{1}{\sqrt{0.996}} ≈ 1.002

som betyr at v_{f,Dyp} er \underline{\underline{0.2% for stor}} når h = λ/2. b)

ω^{2} = gk ⇒ v_{f} = \sqrt{\frac{g}{k}}

og

\underline{\underline{v_{g}}} = \frac{dω}{dk} = \frac{d}{dk} (gk)^{1/2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}} = \underline{\underline{\frac{1}{2}v_{f}}} q.e.d.  (4)

c) For dypt vann har vi ω^{2} = gk som gir:

λ = 2πg/ω^{2} = \frac{g}{2π} T^{2} = \{ \begin{matrix}352 m & for T = 15 s \\ 156 m & for T = 10 s \end{matrix}

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 2

Altså er betingelsene for dypvannstilnærmelsen oppfylt. Dermed:

v_{g} = \frac{1}{2}v_{f} = \frac{1}{2} \frac{λ}{T}

Tid som brukes fra Bjørnøya til Nordkapp (dvs. på lengden L = 300 km):

Δt = \frac{L}{v_{g}} = \frac{2LT}{λ} = \{ \begin{matrix}25.6 · 10^{3} s ≈ \underline{\underline{7.1 timer}} & for T = 15 s \\ 38.5 · 10^{3} s ≈ \underline{\underline{10.7 timer}} & for T = 10 s \end{matrix}

Løsning oppgave 2 a)

v_{f}^{2} = (\frac{ω}{k} )^{2}

⇒ ω^{2} = k^{2}v_{f}^{2} ≈ k^{2} (\frac{g}{k} + \frac{γ}{ρ_{1}} k) = gk + \frac{γ}{ρ_{1}} k^{3}  (5)

Ved å ta differensialet på begge sider av (5), får vi

2ω dω = (g + \frac{3γ}{ρ_{1}} k^{2}) dk  (6)

Fra (6) har vi:

v_{g} = \frac{dω}{dk} = \frac{g + 3γk^{2}/ρ_{1}}{2ω} = \frac{ω}{k} · \frac{gk + 3γk^{3}/ρ_{1}}{2ω^{2}}

= \frac{v_{f}}{2} · \frac{gk + 3γk^{3}/ρ_{1}}{ω^{2}} =^{(5)} \frac{v_{f}}{2} · \frac{gk + 3γk^{3}/ρ_{1}}{gk + γk^{3}/ρ_{1}}

= \underline{\underline{\frac{v_{f}}{2} (1 + \frac{2}{1 + ρ_{1}g/γk^{2}} )}}

b)

v_{f} ≈ (\frac{gλ}{2π} + \frac{2πγ}{λρ_{1}} )^{1/2}

≈ (\frac{9.8 · 10^{−2}}{2π} + \frac{2π · 7.3 · 10^{−2}}{10^{−2} · 1000} )^{1/2} m/s

≈ \underline{\underline{0.24 m/s}}

v_{g} ≈ \frac{0.24}{2} m/s (1 + \frac{2}{1 + _{\frac{1000·9.8}{7.3·10^{−2}·( \frac{2π}{10^{−2}} )^{2}}}} )

≈ \underline{\underline{0.30 m/s}}

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 3

c) Vi finner minimum fasefart v_{f} ved:

\frac{dv_{f}^{2}}{dk} = 0

(fordi v_{f} er positiv og fasefarten har ett minimum og ingen maksimum) Dvs:

\frac{d}{dk} (\frac{g}{k} + \frac{γ}{ρ_{1}} k) = −\frac{g}{k^{2}} + \frac{γ}{ρ_{1}} = 0

som gir

k = (\frac{gρ_{1}}{γ} )^{1/2} = (\frac{9.8 · 1000}{7.3 · 10^{−2}})^{1/2} m^{−1} ≈ 366 m^{−1}

Dvs. fasefarten har minimum for

λ = \frac{2π}{k} ≈ \underline{\underline{17 mm}}

\underline{Løsning oppgave 3} (Eksamen SIF4014 7/12-2001) a)

v_{f} = (\frac{2πγ}{λ(ρ_{1} + ρ_{2})})^{1/2} = (\frac{2πγ}{ρ_{1} + ρ_{2}} )^{1/2} λ^{−1/2} = 2.138 · 10^{−2} \frac{m^{3/2}}{s} · λ^{−1/2} (7)

For λ = 1.00 mm:

v_{f} = 0.676 m/s ≈ \underline{\underline{0.68 m/s}}

For λ = 0.100 mm:

\underline{\underline{v_{f} = 2.14 m/s}}

b)

v_{f} = \frac{λ}{T} = \frac{ω}{k} = (\frac{2πγ}{ρ_{1} + ρ_{2}} )^{1/2} · (\frac{1}{λ})^{1/2} = (\frac{γ}{ρ_{1} + ρ_{2}} )^{1/2} k^{1/2}  (8)
⇒ \underline{\underline{ω = (\frac{γ}{ρ_{1} + ρ_{2}} )^{1/2} k^{3/2}}}  q.e.d.  (9)

c)

v_{g} = \frac{dω}{dk} = \frac{3}{2} (\frac{γ}{ρ_{1} + ρ_{2}} )^{1/2} k^{1/2}  (10)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 4

Sammenligning mellom (8) og (10) gir:

\underline{\underline{v_{g} = \frac{3}{2}v_{f}}}  (11)

d) Vi kaller lengden av bølgetoget for L. Det vil da bruke tiden t = L/v_{g} på å passere et punkt x = x_{1}. På denne tiden vil:

n = \frac{t}{T} = \frac{t}{λ_{0}/v_{f}} = \frac{L/v_{g}}{λ_{0}/v_{f}} = \frac{L}{λ_{0}} \frac{v_{f}}{v_{g}} = \frac{2}{3} \frac{L}{λ_{0}}

klare bølgetopper passere x = x_{1}. Definerer vi lengden av bølgetoget til å være L = 12λ_{0}, får vi:

n = \frac{2}{3} \frac{L}{λ} = \underline{\underline{8}}