TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 1

Løsning oppgave 1 a)

y = A sin(kx − ωt) = A sin [2π (\frac{x}{λ} − \frac{t}{T} )]  (1)

med A = 0.010 m, T = 0.010 s, λ = 0.10 m.

Utsvinget vil bli det samme som for t = 0 for \underline{\underline{t = n · 1.0 · 10^{−2} s}} der n = 1, 2, 3, . . ..

b) Vi ser av figuren ovenfor at: \underline{\underline{T = 0.010 s}}.

c) Vi ser også av figuren ovenfor at: \underline{\underline{λ = 0.10 m}}.

d) En bølgetopp forplanter seg en bølgelengde λ = 0.10 m på en periode T = 0.010 s. Altså er fasehastigheten

v_{f} = \frac{λ}{T} = \frac{0.10 m}{0.010 s} = \underline{\underline{10 m/s}}.

Hastigheten til strengelementene (i y-retning) er gitt ved:

v_{p} = \frac{∂y}{∂t} = \frac{∂}{∂t} (A sin(kx − ωt)) = −ωA cos(kx − ωt).  (2)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 2

Maksimalverdien av cos(kx − ωt) er 1. Altså er maksimalhastighet for et strengelement:

v_{p}^{maks} = ωA = 2π · 1.0 · 10^{2} s^{−1} · 0.010 m = 2π m/s ≈ \underline{\underline{6.3 m/s}}

e)

a = \frac{∂^{2}y}{∂t^{2}} = \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} (A sin(kx − ωt)) = \frac{∂}{∂t} (−ωA cos(kx − ωt)) = −ω^{2}A sin(kx − ωt)

(3)

som har maksimalverdi:

a^{maks} = ω^{2}A = (2π · 1.0 · 10^{2} s^{−1})^{2} · 0.010 m = \underline{\underline{3.9 · 10^{3} m/s^{2}}}.

f) Vi har

sin u = cos (u − \frac{π}{2} ) .

Derfor, dersom vi velger \underline{\underline{φ = −\frac{π}{2}}} , vil y = A cos(kx − ωt + φ) beskrive samme bølge som y = A sin(kx − ωt).

\underline{Merknad:} Fra (1), (2) og (3) har vi:

y = A sin(kx − ωt)
v_{p} = −ωA cos(kx − ωt) = −ωA sin (kx − ωt + \frac{π}{2} )

= ωA sin (kx − ωt − \frac{π}{2} ) = ωA sin [kx − (ωt + \frac{π}{2} )]

a = −ω^{2}A sin(kx − ωt) = ω^{2}A sin(kx − ωt − π) = ω^{2}A sin[kx − (ωt + π)].

Med andre ord så sier vi at a i tid er faseforskjøvet π/2 foran v_{p} som igjen er faseforskjøvet π/2 foran y.