TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 14

Løsning oppgave 1

Vi har fra lign. (5.49) i forelesningene:

E_{k} = ∫_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{ma}{(1 − v_{x}^{2}/c^{2})^{3/2}} dx  (1)

der x_{1} og x_{2} er punkter der partikkelen har henholdsvis hastighet 0 og v_{1}. (Vi har i (1) erstattet v med v_{x}.) Vi nytter så

a dx = \frac{dv_{x}}{dt} dx = \frac{dx}{dt}dv_{x} = v_{x} dv_{x}  (2)

som innsatt i (1) gir:

E_{k} = ∫_{0}^{v} \frac{mv_{x}}{(1 − v_{x}^{2}/c^{2})^{3/2}} dv_{x}.  (3)

Vi substituerer:

y = 1 − v_{x}^{2}/c^{2}  (4)

som gir:

dy = −\frac{2v_{x}}{c^{2}} dv_{x}  (5)

og innsatt i (3):

E_{k} = − ∫_{1}^{1−v^{2}/c^{2}} \frac{mc^{2}}{2} y^{−3/2}dy = \frac{mc^{2}}{2} ∫_{1−v^{2}/c^{2}}^{1} y^{−3/2}dy = \frac{mc^{2}}{2} [−2y^{−1/2}]_{1−v^{2}/c^{2}}^{1}
= mc^{2} ((1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2} − 1) = \underline{\underline{\frac{mc^{2}}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} − mc^{2}}}  (6)

som er lign. (5.48) i forelesningene. q.e.d.

Løsning oppgave 2

Først bestemmer vi relativ fart u_{1} og u_{2} for galaksene sett fra jorda, ved hjelp av Doppler-effekten:

f = \frac{c}{λ}, λ = \frac{c}{f} ⇒ \frac{λ}{λ_{0}} = \frac{f_{0}}{f}

eller

\frac{f}{f_{0}} = \frac{λ_{0}}{λ} = (\frac{1 − \frac{u}{c}}{1 + \frac{u}{c}} )^{1/2} ⇒ (\frac{1 − x_{1}}{1 + x_{1}} ) = (\frac{486}{571})^{2} = 0.724; x_{1} = \frac{u_{1}}{c} = \frac{0.276}{1.724}

\underline{\underline{u_{1}}} = \underline{\underline{0.16c}}
\underline{\underline{u_{2}}} = \frac{0.432}{1.586}c = \underline{\underline{0.276c}}

Begge går i samme retning (fra oss).

Relativ fart:

\underline{\underline{u′_{x}}} = \frac{u_{x} − v}{1 − \frac{u_{x}v}{c^{2}}} = \frac{0.276 − 0.160}{1 − 0.276 · 0.160} = \underline{\underline{0.121c}}.

De vil fjerne seg fra hverandre med relativ fart 0.121c.

λ′_{1,2} = \frac{λ_{0}}{(\frac{1− \frac{u}{c}}{1+ \frac{u}{c}} )1/2} = \frac{486}{\sqrt{\frac{0.879}{1.121}}} = \frac{486}{0.8855}nm = \underline{\underline{548.8 nm}}

λ′_{1} = λ′_{2} fordi det er \underline{relativ} fart som avgjør.

Løsning oppgave 3

a) Fra de-Broglie-relasjonen følger at:

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} = \frac{6.6 · 10^{−34} Js}{0.058 kg · 25 m/s} = \underline{\underline{4.6 · 10^{−34} m}}

\underline{Kommentar:} Denne bølgelengden er mye \underline{mindre} enn tennisballens størrelse (mye mindre enn det meste, faktisk). Det er derfor ikke nødvendig å ta hensyn til tennisballens bølgenatur for å predikere dens bevegelse.

b) Regner vi ikke-relativistisk finner vi på samme måte som i pkt. a:

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_{e}E_{k}}} = \frac{6.6 · 10^{−34} Js}{[2 · 9.1 · 10^{−31} kg · 40 · 10^{3}(1.6 · 10^{−19} J]^{1/2}} = \underline{\underline{0.061 Å}}

\underline{Kontroll:} Dersom vi estimerer elektronenes hastighet ved v = \frac{p}{m_{e}} = \sqrt{\frac{2E}{m_{e}}}, finner vi at v ≈ 1.2 · 10^{8} m/s, altså ca. 40 % av lyshastigheten. Vi vil derfor som en kontroll beregne λ relativistisk. Fra forelesningene har vi følgende uttrykk for den totale energien E:

E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}.  (7)

Den kinetiske energien er gitt ved:

E_{k} = E − mc^{2}.  (8)

Løses (7) og (8) mhp. p finner vi

p = [(\frac{E_{k}}{c} )^{2} + 2E_{k}m]^{1/2}

De-Broglie-bølgelengden beregnet relativistisk blir derfor:

λ = \frac{h}{[(\frac{E_{k}}{c} )^{2} + 2m_{e}E_{k}]^{1/2}}

= \frac{6.6 · 10^{−34} Js}{[(\frac{40·10^{3}(1.6·10^{−19} J)}{3.0·10^{8} m/s})^{2} + 2 · 9.1 · 10^{−31} kg · 40 · 10^{3}(1.6 · 10^{−19} J)]^{1/2}} = \underline{0.060 Å}

Feilen vi gjør ved å regne ikke-relativistisk er derfor ganske liten (< 2 %) selv om elektronhastigheten er så stor som 40 % av lyshastigheten.

\underline{Kommentar:} Elektronets de-Broglie-bølgelengde er mye større enn elektronets utstrekning (< 10^{−18} m). Elektronet kan derfor bevege seg gjennom fysiske strukturer av samme størrelsesorden som de-Broglie-bølgelengden, og det vil i det tilfelle være nødvendig å ta hensyn til elektronets bølgenatur for å predikere dets bevegelse.

I prinsipp skulle et elektronmikroskop med 40 keV elektroner kunne probe strukturen av samme størrelsesorden som den tilhørende de-Broglie-bølgelengden, dvs. ∼ 0.06 Å. I praksis kan ikke et elektromikroskop gi så god oppløsning som dette pga. instrumentelle begrensninger (hovedsakelig pga. linsefeil i de elektromagnetiske linsene som brukes i et slikt instrument). Et moderne forsknings-elektronmikroskop kan gi oppløsning ned mot 1 Å i såkalt TEM-mode (TEM = transmisjons-elektron-mikroskopi).

c) Vi beregner de-Broglie-bølgelengden for elektronene og α-partiklene. I pkt. b fant vi at λ kan beregnes ikke-relativistisk for elektroner med så høy energi som 40 keV. Vi kan derfor trygt bruke ikke-relativistisk beregning for 100 eV elektroner, dvs.

λ_{e} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_{e}E_{k}}} = \frac{6.6 · 10^{−34} Js}{[2 · 9.1 · 10^{−31} kg · 100(1.6 · 10^{−19} J)]^{1/2}} = \underline{1.2 Å}

For å finne α-partiklenes de-Broglie-bølgelengde bør det først undersøkes om deres hastighet er så lav at en kan regne ikke-relativistisk. Fra det ikke-relativistiske uttrykket v_{α} = p/m_{α} = \sqrt{2E_{k}/m_{α}} estimerer vi at v_{α} ∼ 1.9 · 10^{7} m/s, dvs. bare ∼ 6 % av lyshastigheten. Det skulle derfor for vårt formål være OK å regne ikkerelativistisk:

λ_{α} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_{α}E_{k}}} = \frac{6.6 · 10^{−34} Js}{[2 · 6.6 · 10^{−27} kg · 7.7 · 10^{6}(1.6 · 10^{−19} J)]^{1/2}} = \underline{\underline{5.2 · 10^{−5} Å}}

Benyttes oppgitt formel for Bragg-refleksjon med gitterkonstant d = 1 Å (en typisk størrelse for faste stoffer) finner vi følgende begrensning på antall maksima n i vinkelen θ sitt variasjonsområde (0^{∘}, 90^{∘}):

For 100 eV elektroner:

n < 2d · \frac{sin 90^{∘}}{λ} = 2 · 10^{−10} m · \frac{1}{1.2 · 10^{−10} m} ∼ 1.7

dvs. når θ varieres i området 0^{∘} − 90^{∘} gjennomløpes kun ett maksimum svarende til n = 1. Denne variasjon av reflektert intensitet er lett observerbar eksperimentelt.

For 7.7 MeV-α-partikler:

n < 2d · \frac{sin 90^{∘}}{λ} = 2 · 10^{−10} m · \frac{1}{5.2 · 10^{−15} m} ∼ 3.8 · 10^{4}

dvs. når θ varieres i området 0^{∘} − 90^{∘} gjennomløper den reflekterte intensiteten et svært stort antall maksima (og minima). Disse vil ligge så tett (f.eks. er vinkelavstanden mellom maksima svarende til n = 1 og n = 2 lik ∼ 0.0015^{∘}) at interferenseffekten i dette tilfelle blir veldig vanskelig å påvise eksperimentelt.

d) Da de-Broglie-bølgelengden er gitt ved λ = h/p = h/mv (ikke-relativistisk) finner vi middelbølgelengden:

⟨λ⟩ = \frac{h}{m_{n}} ⟨\frac{1}{v}⟩ (merk at ⟨\frac{1}{v}⟩ ≠ \frac{1}{< v >})

Med Maxwells hastighetsfordeling får vi:

⟨\frac{1}{v}⟩ = ∫_{0}^{∞} \frac{1}{v}p(v) dv = (\frac{m_{n}}{2πk_{B}T} )^{3/2} 4π ∫_{0}^{∞} ve^{−m_{n}v^{2}/2k_{B}T} dv

= (\frac{m_{n}}{2πk_{B}T} )^{3/2} 4π (\frac{k_{B}T}{m_{n}} ) ∫_{0}^{∞} e^{−m_{n}v^{2}/2k_{B}T} (\frac{m_{n}v}{k_{B}T} ) dv

= (\frac{m_{n}}{2πk_{B}T} )^{3/2} 4π (\frac{k_{B}T}{m_{n}} ) ∫_{0}^{∞} e^{−m_{n}v^{2}/2k_{B}T} d (\frac{m_{n}v^{2}}{2k_{B}T} )

= (\frac{m_{n}}{2πk_{B}T} )^{3/2} 4π (\frac{k_{B}T}{m_{n}} ) [−e^{−m_{n}v^{2}/2k_{B}T} ]_{0}^{∞}

= (\frac{m_{n}}{2πk_{B}T} )^{3/2} 4π (\frac{k_{B}T}{m_{n}} ) · 1 = \underline{(\frac{2m_{n}}{πk_{B}T} )^{1/2}}

Middelbølgelengden blir følgelig:

⟨λ⟩ = \frac{h}{m_{n}} ⟨\frac{1}{v}⟩ = h (\frac{2}{πm_{n}k_{B}T} )^{1/2}

Innsetting av tallverdiene m_{n} = 1.67 · 10^{−27} kg, k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/kg, h = 6.63 · 10^{−34} Js, T = 373 K gir:

⟨λ⟩ = 1.80 · 10^{−10} m = \underline{1.80 Å}

Denne bølgelengden er av samme størrelsesorden som gitterkonstanten i faste stoffer, og spredning av nøytroner skulle derfor være en velegnet teknikk for strukturundersøkelser av faste stoffer.

Løsning oppgave 4

Ψ_{0} = Ψ_{1} + Ψ_{2}  (9)
Ψ_{1} = ψ_{10}e^{i[kr−ωt−φ]}  (10)
Ψ_{2} = ψ_{20}e^{i[k(r+Δr)−ωt−φ]}  (11)

Merk at ψ_{10} og ψ_{20} er avhengige av hhv. r og r +Δr. Men vi betrakter små θ, d ≪ L og konstant L slik at vi på observasjonsskjermen har med god tilnærmelse:

ψ_{10} ≈ ψ_{20} ≈ konstant ≡ ψ_{0}  (12)

Vi får da:

Ψ_{θ} = Ψ_{1} + Ψ_{2} = ψ_{0} [e^{i[kr−ωt−φ]} + e^{i[k(r+Δr)−ωt−φ]}]  (13)

\underline{Merknad:} Om vi erstatter ψ_{0} med E_{0}, er lign. (13) ovenfor det samme uttrykket vi hadde for E_{θ} i oppgave 3 i øving 12 innenfor Re{ }. Merk at i oppgave 3 i øving 12 brukte vi kompleks regning til å legge sammen \underline{reelle} elektriske felter. Vi kunne like godt ha regnet reelt som vi gjorde i forelesningene kap. 4.4.2. Her har vi ingen reell erstatning for Ψ_{θ} gitt i lign. (13).

a)

|Ψ_{θ}|^{2} = Ψ_{θ} · Ψ_{θ}^{∗}
= |ψ_{0}|^{2} [e^{i[kr−ωt−φ]} + e^{i[k(r+Δr)−ωt−φ]}] · [e^{−i[kr−ωt−φ]} + e^{−i[k(r+Δr)−ωt−φ]}]
= |ψ_{0}|^{2} [1 + e^{−ikΔr} + e^{ikΔr} + 1]
= 2|ψ_{0}|^{2} [1 + cos(kΔr)]  (14)

Ved figurbetraktning:

Δr = d sin θ  (15)

Dermed:

kΔr = kd sin θ ≡ δ  (16)

Med (16) innsatt i (14) får vi da:

|Ψ_{θ}|^{2} = 2|ψ_{0}|^{2} [1 + cos δ] = 2|ψ_{0}|^{2} [1 + 2 cos^{2} \frac{δ}{2} − 1] = \underline{\underline{4|ψ_{0}|^{2} cos^{2} \frac{δ}{2}}} (17)

b) Lign. (17) gir:

\frac{|Ψ_{θ}|^{2}}{|Ψ_{θ=0}|^{2}} = \underline{\underline{cos^{2} \frac{δ}{2}}}  (18)

som er det samme vi fikk for I_{θ}/I_{0} i forelesningene lign. (4.29) i kap. 4.4.

c) |Ψ_{θ}|^{2} har nabomaksima f.eks. for

\frac{δ}{2} = 0 og \frac{δ}{2} = π  (19)

dvs. for:

\frac{1}{2}kd sin θ = 0 og \frac{1}{2}kd sin θ = π  (20)

sin θ ≪ 1 og vi setter:

sin θ ≈ \frac{y}{L}  (21)

Fra lign. (20) får vi da at vi har nabomaksima for:

y = 0 og y = \frac{2πL}{kd}  (22)

Avstanden a mellom to nabomaksima er altså:

a = \frac{2πL}{kd} = \frac{2πL}{\frac{2π}{λ} d} = \frac{λL}{d}  (23)

Med p = 1.0 · 10^{−22} kg m/s får vi:

λ = \frac{h}{p} = 6.6 · 10^{−12} m = 6.6 pm

Videre oppgitt:

d = 2.0 μm og L = 2.0 m

som gir innsatt i (23):

a = \frac{λL}{d} = \frac{6.6 · 10^{−12} · 2.0}{2.0 · 10^{−6}} m ≈ 6.6 · 10^{−6} m = \underline{\underline{6.6 μm}}  (24)

Merk at tallene vi her har regnet med er av aktuell størrelsesorden for elektroninterferenseksperimenter gjort med elektronmikroskop. Men interferensmønsteret blir vesentlig forstørret før det registreres på en film eller en fluoreserende skjerm.