TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 10

Løsning oppgave 1

a) Oppgaven beskriver samme situasjon som den som gir ligning (3.40) i punkt 3.7 i forelesningene. Vi har derfor:

D(x, t) = 2D_{0} sin kx sin(ωt + φ)  (1)

der k = \frac{2π}{λ} må være gitt ved (ifølge det som er oppgitt og punkt 3.7 i forelesningene)

\frac{3λ}{2} = 1.80 m dvs. λ = 1.20 m

og

k = \frac{2π}{λ} = 5.23 m^{−1}  (2)

Videre:

2D_{0} = \frac{12.0}{2} cm = 6.0 cm  (3)
ω = 2πf = 754 rad/s  (4)

(2),(3) og (4) i (1) gir:

\underline{\underline{D(x, t)}} = \underline{\underline{0.060 m · sin (5.23 m^{−1} · x) sin (754 rad/s · t + φ)}}

der φ er en vilkårlig fasekonstant.

b) Fra forelesningene i punkt (3.7) har vi at de to vandrebølgene er gitt ved ligning (3.29) og (3.30). Her er φ_{1} = φ og φ_{2} = φ + π ifølge forelesningene s. 123. k, D_{0} og ω er gitt i punkt a. Dermed:

D_{1}(x, t) = \underline{\underline{0.030 m · cos (5.23 m^{−1} · x − 754 rad/s · t − φ)}}

og

D_{2}(x, t) = 0.030 m · cos (5.23 m^{−1} · x + 754 rad/s · t + φ + π)
= \underline{\underline{−0.030 m · cos (5.23 m^{−1} · x + 754 rad/s · t + φ)}}

der φ er en vilkårlig fasekonstant.

Løsning oppgave 2

a) Ifølge (1.54) i forelesningene har vi for svevningsfrekvensen f_{s} enten:

f_{s} = f_{2} − f_{1}  (5)

eller:

f_{s} = f_{1} − f_{2}  (6)

der f_{1} og f_{2} er frekvensen til fiolin 1 og 2. (5) gir:

f_{2} = f_{1} + f_{s} = 443 Hz

og (6) gir:

f_{2} = f_{1} − f_{s} = 437 Hz

så f_{2} er \underline{\underline{437 Hz eller 443 Hz}}.

b) Ifølge ligning (3.39) i forelesningene må f_{2} øke når vi strammer. Siden f_{s} nå er 4 Hz, må vi derfor ha:

f_{2} = f_{1} + f_{s} = 444 Hz

og siden stramningen var \underline{liten} (en øvet fiolinstemmer vet hva det vil si) kan stemmeren slutte seg til at frekvensen før stramning var:

\underline{\underline{f_{2}}} = \underline{\underline{443 Hz}}

(Det beklages at “definisjonen” av \underline{“litt”} stramning ikke var tatt inn i oppgaveteksten.)

Løsning oppgave 3 (Oppg. 5, Eksamen 22/8-92)

a) Bølgelengden λ = \frac{c}{f} = \frac{320}{500} m = \underline{\underline{0.64 m}} Avstanden mellom nabomaksima = \frac{λ}{2} = OP

P Q = 3 · OP = 3\frac{λ}{2} = 3\frac{0.64}{2} m = \underline{\underline{0.96 m}}

b) Avstanden OP mellom nabomaksima er en halv bølgelende, som tilsvarer faseforskjell π. Avstanden OQ er to bølgelengder som tilsvarer faseforskjell 4π. I punktene O og P er derfor mikrofonspenningene og stråleavbøyningene på skjermen i motfase, i O og Q i fase:

I punktet O: x = a cos ωt
I punktet P: y = −b cos ωt
I punktet Q: y = b cos ωt

Med mikrofonene i O og P blir på skjermen opptegnet en rett linje med helning −b/a = −1 dersom b = a. Med mikrofonene i O og Q blir på skjermen opptegnet en rett linje med helning b/a = 1 dersom b = a.